Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ

Vì a > 0 => a; a^2 + 1> 0 => a/a^2+1 >0 và a^2+1/2a > 0 

Áp dụng co si cho hai số không âm ta có: 

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9.2a}{4a}\)

\(=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = 1

Vậy min S = 11/2  tại a = 1

trả lời lẹ cho tui cấy

haiz za, search mạng cx~ hổng cóa đc

  ta có (a-b)^2(a^2+ba+b^2)>=0 
<=>4(a-b)^2(a^2+ba+b^2)>=0 (1) 
(a^2-b^2)^2>=0 
<=>a^4+b^4-2a^2b^2>=0 
<=>3(a^4+b^4-2a^2b^2)>=0 (2) 
từ (1) và (2) =>4(a-b)^2(a^2+ba+b^2)+3(a^4+b^4-2a^2b^2... 
<=>7(a^2+b^2) - 6a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2)>=0 
<=>8(a^2+b^2)>= a^4+b^4 + 2a^2b^2 + 4a^2b^2 + 4a^3b+4b^3a=(a+b)^4 
<=>(a^4+b^4)>=(a+b)^4/8 
<=>(a+b+2)(a^4+b^4)>=(a+b)^4.(a+b+2)/8 = (a+b)^5/8 + (a+b)^4/4 = (a+b)^5/8 + 15(a+b)^4/64 + (a+b)^4/64 (3) 
ta lại có a+b>=2 căn ab = 4 
=>15(a+b)^4/64>=60 và (a+b)^5/8>=128 (4) 
từ (3) và (4) => (a+b+2)(a^4 + b^4) >=60+128+(a+b)^4/64 
<=>(a+b+2)(a^2 + b^2) + 16/(a+b) >=188+(a+b)^4/64 + 16/(a+b) (5) 
mặt khác (a+b)^4/64 + 16/(a+b) >= 2 căn[ (a+b)^3/ 4 ] = căn (a+b)^3 >= căn (4^3)= 8 (6) 
từ (5) và (6) => (a+b+2)(a^4 + b^4) + 16/(a+b) >=188+8=196 
=> min[ (a+b+2)(a^4 + b^4) + 16/(a+b) ] = 196 khi và chỉ khi a=b=2

Nguồn: The Duc

hình như lạc đề rồi bạn ơi!

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương, ta được: \(S=2a+\frac{1}{a^2}=\left(\frac{1}{a^2}+8a+8a\right)-14a\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2}.8a.8a}-14.\frac{1}{2}=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = ¹/₂

bài 1:

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

ta có \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

vì \(\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}}\le\frac12\frac{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{2}=\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac12\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac32\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1(đpcm)

bài 2:

dự đoán điểm rơi a=3 và b=1

<=> \(S=\left(a^2-2a+9\right)+\left(a+\frac{9}{a}-6\right)+\left(b+\frac{1}{b}-2\right)+4a+2b+8\)

\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{a^2-6a+9}{a}+\frac{b^2-2b+1}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)

\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{\left(a-3\right)^2}{a}+\frac{\left(b-1\right)^2}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)

=> \(S\ge0+0+0+17+8=25\)

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a-3=0=>a=3

b-1=0=>b=1