Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho a>0, b>0, c>0, a+b+c\(\le\)1
tìm min của p=\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\)
có ở trong câu hỏi tương tự nhé
\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: :
\(\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+9a\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\sqrt{9a^2}=6a\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+9b\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6b;\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9c\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge6\left(a+b+c\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:
\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}\ge6-3=3\)
Và \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=27\)
Khi đó nhìn vào \(\left(1\right)\) thấy \(P\ge27+3=30\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
bài 1:
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
ta có \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
vì \(\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}}\le\frac12\frac{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{2}=\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac12\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac32\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1(đpcm)
bài 2:
dự đoán điểm rơi a=3 và b=1
<=> \(S=\left(a^2-2a+9\right)+\left(a+\frac{9}{a}-6\right)+\left(b+\frac{1}{b}-2\right)+4a+2b+8\)
\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{a^2-6a+9}{a}+\frac{b^2-2b+1}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)
\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{\left(a-3\right)^2}{a}+\frac{\left(b-1\right)^2}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)
=> \(S\ge0+0+0+17+8=25\)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a-3=0=>a=3
b-1=0=>b=1
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)