gọi d = ƯCLN(a; b) 

=> a chia hết cho d; b chia hết cho d

=> (a+b)  chia hết cho d 

=> d = ƯC(a +b ;b) => ƯCLN(a+b; b) \(\ge\) d

Mà a/b chưa tối giản => d > 1 

=> ƯCLN(a+b; b) \(\ge\) d > 1

=> a+b/ b chưa tối giản

Gọi ƯCLN(a,b)=d (d \(\ne0;1;d\in Z\))

TA có:

TA có:

a/b=d.c/d.e (c;e khác 0;1 và c;e thuộc Z)

=>a+b/b=d.(c+e)/d.e chưa tối giản bởi nó còn phải rút gọn đi d nữa

Gọi ƯCLN(a,b)=d (d khác 0,-1,1)

=>\(a⋮d\)

\(b⋮d\)

Sử dụng tính chất chia hết của 1 tổng, ta được:

\(\left(a+b\right)⋮d\)

Mà \(b⋮d\)

nên phân số \(\frac{a+b}{b}\) rút gọn được cho d.

Vậy phân số trên chưa tối giản.

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Giả sử \(\frac{a+b}{b}\) là phân số chưa tối giản thì:

Gọi ƯCLN(a + b; b) = d; d ≥ 2 khi đó:

(a + b) ⋮ d và b ⋮ d (1)

Suy ra: [a + b - b] ⋮ d

[a + (b - b)] ⋮ d

[a+ 0] ⋮ d

a ⋮ d (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: (a; b) = d (d ≥ 2)

Vậy a/b không phải là phân số tối giản (trái với đề bài)

Nên điều giả sử là sai hay phân số a/b không phải là phân số tối giản.

Bài 1:

Do \(\frac{a}{b}\) là một phân số chưa tối giản nên ta có thể đặt \(\hept{\begin{cases}a=md\\b=nd\end{cases}}\left[d=\left(a;b\right);\left(m;n\right)=1\right]\)

Khi đó ta có:

a) \(\frac{a}{a-b}=\frac{md}{md-nd}=\frac{md}{\left(m-n\right)d}\) chưa là phân số tối giản  (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

b) \(\frac{2a}{a-2b}=\frac{2md}{md-2nd}=\frac{2md}{\left(m-2n\right)d}\) chưa là phân số tối giản   (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

Gọi d = ƯCLN(a, a+b) (d thuộc N*)

=> a chia hết cho d; a + b chia hết cho d

=> a chia hết cho d; b chia hết cho d

Mà phân số a/b tối giản => d = 1

=> ƯCLN(a, a+b) = 1

=> phân số a/a+b tối giản

Gọi d = UCLN(a,a+b)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\a+b⋮d\Rightarrow b⋮d\end{cases}}\)

=> \(d\inƯC\left(a,b\right)\)

Do \(\frac{a}{b}\)là phân số tối  giản

=> (a,b) = 1

=> d = 1

=> \(\frac{a}{a+b}\)là phân số tối giản

- Còn phân số \(\frac{a}{a.b}\)không phải là ps tối giản vì nó vẫn  rút gọn được: \(\frac{a}{a.b}=\frac{1}{b}\)

 ( sai thì thôi nha )