a: Xét ΔBOA vuông tại B có cos BOA=\(\frac{OB}{OA}=\frac12\)

nên \(\hat{BOA}=60^0\)

Xét ΔOBM có OB=OM và \(\hat{BOM}=60^0\)

nên ΔOBM đều

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

ΔBOM cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của OM

=>HO=HM

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(HM\cdot OA=OB^2=R^2\)

b: ΔODE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK⊥DE tại K

TA có: \(\hat{OKA}=\hat{OBA}=\hat{OCA}=90^0\)

=>O,K,A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

c: Xét (O) có

\(\hat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

\(\hat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\hat{ABM}=\hat{BNM}\)

Xét ΔABM và ΔANB có

\(\hat{ABM}=\hat{ANB}\)

góc BAM chung

Do đó: ΔABM~ΔANB

=>\(\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AN=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC

c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Ta có: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Ta có: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBAC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔBAC đều

=>\(S_{BAC}=\dfrac{BA^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3R^2\cdot\sqrt{3}}{4}\)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( O ), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm )

a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp

b)Cho bán kính đường tròn ( O ) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC

c) Gọi ( K ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tạo C. Đường trknf (K) và đường tròn (O ) cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng đường thẳng BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC

Do AB là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta OAB\) vuông tại A

Theo định lý Pitago:

\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{2R^2-R^2}=R\)

\(\Rightarrow AB=OB\Rightarrow\Delta OAB\) vuông cân tại B

Hoàn toàn tương tự ta có tam giác \(OAC\) vuông cân tại C

\(\Rightarrow OBAC\) là hình vuông

b.

Do DB và DM là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow DB=DM\)

Tương tự ta có \(EM=EC\)

\(\Rightarrow\) Chu vi tứ giác ADE:

\(AD+DE+EA=AD+DM+ME+EA=AD+DB+EC+EA=AB+AC=2R\)

a: Xét ΔOBA và ΔOCA có 

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

hay AC là tiếp tuyến của (O)

a: Xét ΔOBA và ΔOCA có 

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

hay AC là tiếp tuyến của (O)