Câu 1:

Gọi ƯCLN (n; n + 1) = d khi đó:

n ⋮ d và (n + 1) ⋮ d

(n - n +1) ⋮ d

(0 - 1) ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1 hay phân số: \(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản.

Câu 2: (a; b) = 1 và: \(\frac{a+b}{2b}=\frac{2a}{b}\)

\(\frac{a+b}{2b}=\frac{2a}{b}\)

\(\frac{a+b}{2}\) = \(\) 2a

a + b = 4a

b = 4a - a

b = 3a

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac13\)

(1; 3) = 1 Vậy \(\frac{a}{b}=\frac13\)

Kết luận phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac13\)

Ta có \(\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1\)

  mà \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản

       1 cũng là phân số tối giản

\(\Rightarrow\)\(\frac{a+b}{b}\)là phân số tối giản (đpcm)

Ta có: a/b là phân số tôí giản =>  a ko chia hết cho b

và ta có:

a ko chia hết cho b 

b chia hết cho b

=>   a+b ko chia hết cho b =>  a+b/ b ko là phân số tối giản.

ta có: \(\frac{2a+1}{2a^2+2a}=\frac{2a+1}{2a\left(a+1\right)}\)

nhận xét: 2a  và 2a +1 là 2 số nguyên liên tiếp nên 2a và 2a + 1 không có ước chung nào khác 1; -1          (*)

gọi d = ƯCLN(2a+1; a+1) 

=> 2a+1 chia hết cho d và

     a+ 1 chia hết cho d

=> 2a+ 1 - 2(a+1) = -1 chia hết cho d => d = 1 hoặc -1 => 2a+ 1 và a+ 1 nguyên tố cùng nhau hay chúng ko có ước chung nào khác 1; -1      (**)

Từ (*)(**) => 2a + 1 và 2a.(a+ 1) nguyên tố cùng nhau => phân số đã cho là tối giản

Gọi d là UCLN(2a+5;a+1)

⇒2a+5;a+1

⇒2a+5;2a+2

⇒(2a+5)-(2a+2)

⇒3 ⋮d

⇒d=\(\left\{1;3\right\}\)

.............