Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.
Chứng minh:
Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.
Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).
Khi đó:
\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)
Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.
Vậy \(n\) là số lẻ.
Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).
Ta có:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).
Cách phân tích phù hợp là:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:
\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.
Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.
Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:
Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).
Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).
Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:
\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)
Hay \(d\mid 2^{2013}\).
Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).
Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.
Suy ra \(d=1\).
Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)
1)
+)Xét trường hợp p=2 =>p+6= 8 là hợp số (trái với giả thiết)
+) Xét trường hợp p=3 =>p+12=15 là hợp số (trái với giả thiết)
+)Xét trường hợp p>3 =>p có một trong hai dạng :3k+1 ; 3k+2
Nếu p= 3k+1 =>p+8=3k+8+1=3k+9 chia hết cho 3
=>p+8 là hợp số (trái với giả thiết )
Vậy p phải có dạng là 3k+2
Nếu p=3k+2 =>p+4 = 3k+2+4 = 3k+6 =3.(k+2)=>p+4 chia hết cho 3
=>p+4 là hợp số (đpcm)
a nguyên tố > 3 nên a lẻ => a-1 chia hết cho 2
=> (a-1).(a+4) chia hết cho 2 (1)
a nguyên tố > 3 nên a ko chia hết cho 3
+, Nếu a chia 3 dư 1 => a-1 chia hết cho 3 => (a-1).(a+4) chia hết cho 3
+, Nếu a chia 3 dư 2 => a+4 chia hết cho 3 => (a-1).(a+4) chia hết cho 3
Vậy (a-1).(a+4) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => (a-1).(a+4) chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )
=> ĐPCM
Tk mk nha
thiếu dữ liệu ko tính đc vd a = 12 k = 6 thì vẫn chia hết
1 đề bài sai
2 thiếu dữ kiện
a là số nguyên tố >3 nên ko chia hết 3 do đó a=3k+1 hoặc +2
-Nếu a=3k+1 thì a-1=3k chia hết cho 3->(a-1)(a+4)chia hết cho 3 (1)
-Nếu a=3k-1 thì a+1=3k chia hết cho 3->(a-1)(a+4)chia hết cho 3 (2)
Vì a là số ntố >3 nên a là số lẻ->a=2h+1->(p-1)(p+1)=(2h+1-1)(2h+1+1)=2h(2h+2)=4h(h+1)
h(h+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp->h(h+1) chia hêt cho 2->4h(h+1) chia hết cho 4->(a-1)(a+4) chia hết cho4 (4)
từ (1) (2) (3) (4) ->(a-1)(a-4) chia hết cho 6
chắc là đúng nha