Từ a+b=c Ta được a+b-c=0

Do đó:\(\left(a+b-c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)=0\)(đccm)

Có thể ( chỉ là có thể thôi ) các bạn chưa học hằng đẳng thức nâng cao nên mình sẽ chứng minh và dùng nó luôn , còn các bạn cứ lấy nó mà dung , bởi vì nó cũng có thể được coi là " định lý ", đại loại thế

Bổ đề : CMR: \(\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+b-c\right)=a^2+ab-ac+ab+b^2-bc-ac-bc+c^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+\left(ab+ab\right)-\left(ac+ac\right)-\left(bc+bc\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)\)

Nhờ bổ đề trên\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=\left(a+b-c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\)\(a+b-c=0\)vì \(\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a+b=c\left(DPCM\right)\)

Còn nhiều hằng đẳng thức nâng cao nữa cũng kiểu dạng này, nếu bạn muốn biết thì hãy tự chứng minh nó và áp dụng nó vào bài như một bổ đề, mình chỉ chia sẽ kinh nghiệm vậy thôi

GOOD LUCK

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Có ai có cách giải khác k ạ ?NhưNhã Doanhchú tuổi gìTrịnh Thị Thúy VânMashiro Shiinalê thị hương giangNguyễn Trúc Maingonhuminh

Lê BùiKien NguyenNguyễn Huy TúAkai HarumaAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiPhương AnHoàng Lê Bảo NgọcVõ Đông Anh TuấnTrần Việt Linh

\(gt\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\) (1)

Do theo BĐT AM-GM (Cô si) \(a^2+b^2\ge2\left|ab\right|\ge2ab\)

Thay vào (1) suy ra \(1=a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

Suy ra \(ab\le\frac{1}{4}\).Từ đây ta có: \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=1-2ab\ge\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Phép chứng minh hoàn tất!

Bài 1: 

a: \(=\left(x+2\right)^2-y^2\)

\(=\left(x+2+y\right)\left(x+2-y\right)\)

b: \(=xy\left(x-y\right)-\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(xy-1\right)\)

c: \(=x\left(x^2+2x+1\right)=x\left(x+1\right)^2\)

d: \(=x\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\left(x-y\right)=\left(x+y\right)\left(2x-y\right)\)

e: \(=5xy\left(x-2y^2\right)\)

g: \(=\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)-12\)

\(=\left(x^2+x+6\right)\left(x^2+x-2\right)\)

\(=\left(x^2+x+6\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\)

h: \(=\left(x+2y\right)^2-16=\left(x+2y+4\right)\left(x+2y-4\right)\)

k: \(=2x^2-8x+3x-12=\left(x-4\right)\left(2x+3\right)\)

lại đây nào , hằng đẳng thức quen thuộc của chúng ta ơi: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)( cái này dễ chứng minh nha bạn, bạn có thể nhân hai vế với 2 hoặc tra mạng là có ngay nha). và chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào biểu thức bên dưới

1 \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\) \(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)\(=abc\left(a+b+c\right)\)

từ đẳng thức ta có đpcm 

2 \(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\)\(\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\)\(+a^4b^2c^2\)

\(=a^2b^2c^2\left(b^2+c^2+a^2\right)\)\(\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)

từ đẳng thức ta có đpcm

trong suốt quá trình giải bài toán mình đều sử dụng công thức bên trên nhé. chúc bạn học tốt. kb và tk mk