a+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abca+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abc (cái này tự chứng minh nhá, dễ)

⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)

Lại có b+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bcb+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bc

Tương tự c2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2abc2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2ab

Nên 3abc(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(a2−2bc)+b3(b2−2ac)+c3(c2−2ab)=2(a5+b5+c5)−2abc(a2+b2+c2)

(a^2+b^2+c^2) x 2 = 2 x (a^4+b^4+c^4)

suy ra: (a+b+c)^2 x 2 = (a+b+c)^4 x 2

Mà a+b+c= 0(gt)

suy ra: 0^2 x 2=0^4 x 2

0 = 0

=)))

Đặt x=b-c; y=c-a; z=a-b

=>x+y+z=b-c+c-a+a-b=0

Ta có: \(\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} = 0\)

=>\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

=>ayz+bxz+cxy=0

=>\(a=\frac{(y-z)x^2}{y^2 + yz + z^2};\quad b=\frac{(z-x)y^2}{z^2 + zx + x^2};\quad c=\frac{(x-y)z^2}{x^2 + xy + y^2}\)

A=\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}\)

\(=\frac{1}{x^2}\cdot\frac{(y-z)x^2}{y^2 + yz + z^2}+\frac{1}{y^2}\cdot\frac{(z-x)y^2}{z^2 + zx + x^2}+\frac{1}{z^2}\cdot\frac{(x-y)z^2}{x^2 + xy + y^2}\)

\(=\frac{y-z}{y^2 + yz + z^2}+\frac{z-x}{z^2 + zx + x^2}+\frac{x-y}{x^2 + xy + y^2}\)

x+y+z=0

=>x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x

\(y^2 + yz + z^2 = (y + z)^2 - yz = (-x)^2 - yz = x^2 - yz\)

\(z^2 + zx + x^2 = y^2 - zx\)

\(x^2 + xy + y^2 = z^2 - xy\)

\(A=\frac{y-z}{x^2 - yz}+\frac{z-x}{y^2 - zx}+\frac{x-y}{z^2 - xy}\)

\(=\frac{(y-z)(y^2 - zx)(z^2 - xy) + (z-x)(z^2 - xy)(x^2 - yz) + (x-y)(x^2 - yz)(y^2 - zx)}{(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy)}\)

=0

=>ĐPCM

bai nay dai lam nhung ban cu lam theo ncac buoc sau:
b1: lấy dữ liệu đầu bài để nhận với 1 số mà bằng được với cái phải chứng minh thế là ra
b2: nhân đa thức với đa thức(tự làm)
b3:ghép các phân thức đồng dạng với nhau.
b4:kết luận

1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Tương tự :  \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)

\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)

1) ta có: a(b^2 -1)(c^2 -1)+b(a^2 -1)(c^2 -1)+c(a^2-1)(b^2-1)

=(ab^2 -a)(c^2-1)+(ba^2 -b)(c^2-1)+(ca^2-c)(b^2-1)

 đén đây nhân bung ra hết rồi rút gọn và thay a+b+c=abc là đc