Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) A=m3+3m2-m-3
=(m-1)(m2+m+1) +m(m-1) +2(m-1)(m+1)
=(m-1)(m2+m+1+m+2m+2)
=(m-1)(m2+4m+4-1)
=(m-1)[ (m+2)2-1 ]
=(m-1)(m+1)(m+3)
với m là số nguyên lẻ
=> m-1 là số chẵn(nếu gọi m là 2k-1 thì 2k-1-1=2k-2=2(k-1)(chẵn)
m+1 là số chẵn (tương tự 2k11+1=2k(chẵn)
m+3 là số chẵn (tương tự 2k-1+3=2k++2=2(k+2)(chẵn)
ta có:gọi m là 2k-1 thay vào A ta có:(với k là số nguyên bất kì)
A=(2k-2)2k(2k+2)
=(4k2-4)2k
=8k(k-1)(k+1)
k-1 ;'k và k+1 là 3 số nguyên liên tiếp
=> (k-1)k(k+1) sẽ chia hết cho 6 vì trong 3 số liên tiếp luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 3
=> tích (k-1)k(k+1) luôn chia hết cho 6
=> A=8.(k-1)(k(k+1) luôn chia hết cho (8.6)=48
=> (m3+3m3-m-3) chia hết cho 48(đfcm)
giải câu c nha
xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
Ta có:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
tương tự :b3-b chia hết cho 6 và c3-c chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6
=> a3+b3+c3 -a-b-c chia hết cho 6
mà a3+b3+c3chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6
k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha
a/ n3 - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
ta có a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 6.
do đó a2014 + b2015 + c2016 và a2016 + b2017 + c2018 có cùng số dư khi chia cho 6 hay a2014 + b2015 + c2016 chia hết cho 6 thì a2016 + b2017 + c2018 cũng chia hết cho 6.
ta có: \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\) (*)
mà \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
tương tự : \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
=> (*) chia hếtcho 6
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 6
mà theo bài ra ta có: \(a+b+c⋮6\)
nên \(a^3+b^3+c^3⋮6\) => đpcm
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)
Theo đề bài \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=0\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=0\)
\(\Rightarrow\frac{c+a+b}{abc}=0\) mà \(a;b;c\ne0\Rightarrow abc\ne0\Rightarrow a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=-\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Mà \(3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) chia hết cho 3 nên \(-\left(a^3+b^3+c^3\right)\) chia hết cho 3
Nên \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 3
1.
Giả sử $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots 6.$
Ta cần chứng minh $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots 6.$
Ta có $a^{2018}-a^{2016}=a^{2016}(a^2-1)=a^{2016}(a-1)(a+1).$
Trong ba số nguyên liên tiếp $a-1,\ a,\ a+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ và có ít nhất một số chẵn.
Do đó $a(a-1)(a+1)\vdots6.$
Suy ra $a^{2016}(a^2-1)=a^{2015}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6,$ hay $a^{2018}\equiv a^{2016}\pmod6.$
Tương tự, $b^{2019}-b^{2017}=b^{2017}(b^2-1)=b^{2016}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2019}\equiv b^{2017}\pmod6.$
Lại có $c^{2020}-c^{2018}=c^{2018}(c^2-1)=c^{2017}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$
=nên $c^{2020}\equiv c^{2018}\pmod6.$
Cộng ba đồng dư trên,
$a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiva^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\pmod6.$
Theo giả thiết, $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiv0\pmod6.$
Suy ra $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiv0\pmod6.$
Vậy $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}$ chia hết cho $6.$
2.
$\displaystyleM=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}.$
Ta có $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=\frac{x^2+x+3x+1}{x(x+1)}=1+\frac{3x+1}{x(x+1)}.$
Lại có $\displaystyle\frac{3x+1}{x(x+1)}=\frac1x+\frac2{x+1}.`$
Do đó $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=1+\frac1x+\frac2{x+1}.$
Suy ra $\displaystyleM=3+\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)+2\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right).$
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\displaystyle(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge(1+1+1)^2=9.$
Vì $a+b+c\le3,$ nên $\displaystyle\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac9{a+b+c}\ge3.$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy,
$\displaystyle(a+b+c+3)\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right)\ge9.$
Do $a+b+c+3\le6,$ suy ra $\displaystyle\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\ge\frac96=\frac32.$
Vậy $\displaystyleM\ge3+3+2\cdot\frac32=9.$
Dấu ``='' xảy ra khi $a=b=c=1,$ vì khi đó $a+b+c=3$ và các bất đẳng thức Cauchy đều đạt dấu bằng.
Vậy $M_{\min}=9.$
Thay \(\left(a,b,c\right)=\left(2,5,10\right)\) vao gt ta thay ko thoa man
Sua lai de : CMR \(a^3+b^3+c^3-3abc⋮a+b+c\)
CM:
\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)⋮\left(a+b+c\right)\)