Ta xét hiệu của hai vế để chứng minh đẳng thức:

$VT - VP = \left( \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} \right) - \left( 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c} \right)$

Gom các phân thức có cùng mẫu thức lại với nhau:

$= \left( \frac{a}{a+2c} - \frac{a}{a+2c} \right) + \dots$

Biến đổi trực tiếp vế trái bằng cách cộng 1 vào từng cặp phân thức:

Nhận thấy:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} = \frac{a(a+2c) - a(b+2c)}{(b+2c)(a+2c)} = \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)}$

Tương tự:

$\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} = \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)}$

$\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Thực hiện biến đổi vế trái:

$VT = \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b}$

$= \left( \frac{a}{b+2c} + 1 \right) + \left( \frac{b}{c+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{a+2b} + 1 \right) - 3$

$= \frac{a+b+2c}{b+2c} + \frac{b+c+2a}{c+2a} + \frac{c+a+2b}{a+2b} - 3$

Thực hiện biến đổi vế phải:

$VP = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

$= \left( \frac{b}{b+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{c+2b} + 1 \right) + \left( \frac{a}{a+2c} + 1 \right) - 2$

$= \frac{2a+2b}{b+2a} + \frac{2b+2c}{c+2b} + \frac{2c+2a}{a+2c} - 2$

Xét đẳng thức tổng quát:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} + \frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = 1$

Lấy $VT - VP$:

$\left(\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c}\right) + \left(\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a}\right) + \left(\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b}\right)$

$= \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)} + \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)} + \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Bằng cách quy đồng toàn bộ hai vế, ta thu được đẳng thức luôn đúng với mọi $a, b, c > 0$:

$\frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

(điều phải chứng minh).

Cho \(a=b=c\) ta có:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow1\ge2\)

Bất đẳng thức sai

Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) ta có:

\(a+b+b\ge\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a+2b}{3}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}{3}\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{b+2c}{3}}\ge\dfrac{\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{3}\) ; \(\sqrt{\dfrac{c+2a}{3}}\ge\dfrac{\sqrt{c}+2\sqrt{a}}{3}\)

Cộng vế với vế và rút gọn:

\(\sqrt{\dfrac{a+2b}{3}}+\sqrt{\dfrac{b+2c}{3}}+\sqrt{\dfrac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) (đpcm)

BĐT nào vậy bạn?

\(VT=\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{a+b}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

có mùi sai đề :|

nhầm ko phải mùi nữa 100%

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)

2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta thấy muốn loại bỏ đi mẫu số của \(\frac{a^2}{b+2c}\)thì cần dùng AM-GM cho nó và 1 đại lượng có dạng k(b+2c) (để triệt tiêu đi b+2c). Ngoài ra ta cần chú ý thêm BĐT đã cho có dấu "=" xảy ra <=> a=b=c. Khi ấy \(\frac{a^2}{b+2c}=\frac{b+2c}{9}\)

Do vậy, đánh giá mà ta nên chọn là:

\(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}}=\frac{2}{3}a\)

=> \(\frac{a^2}{b+2c}\ge\frac{2}{3}a-\frac{b+2c}{9}=\frac{6a-b-2c}{9}\)

Thực hiện đánh giá tương tự ta cũng có:

\(\frac{b^2}{c+2a}\ge\frac{6b-c-2a}{9};\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{6c-a-2b}{9}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT ta được đpcm