Vì \(a< b< c< d< m< n\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c+m< 3a\\a+b+c+d+m+n< 6a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{3a}{6a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

                                                             Bài giải

Ta có : \(a< b\text{ }\Rightarrow\text{ }2a< a+b\)

        \(c< d\text{ }\Rightarrow\text{ }2c< c+d\)

         \(m< n\text{ }\Rightarrow\text{ }2m< m+n\)

\(\Rightarrow\text{ }2a+2c+2m< \left(a+b+c+d+m+n\right)\) \(\Leftrightarrow\text{ }2\left(a+c+m\right)< \left(a+b+c+d+m+n\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)

: a<b nên a+a < a+b

                  => 2a < a+b    (1)

           c<d nên c+c < c+d

                 => 2c < c+d     (2)

           m<n nên  m+m < m+n

                  => 2m < m+n   (3)

Từ (1); (2) và (3).  2a + 2c +2m < a+b+c+d+m+n

                         => 2(a+c+m) < a+b+c+d+m+n

vậy a+c+m/a+b+c+d+m+n <1/2

đúng ko ạ?

\(\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{a+c+m}{a+c+m+a+c+m}\)

\(=\dfrac{a+c+m}{2a+2c+2m}=\dfrac{1}{2}\) ( do a < b < c < d < m < n )

\(\Rightarrowđpcm\)

\(\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{a+c+m}{a+b+c+a+b+c}\left(a< b< c< d< m< n\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{a+c+m}{2a+2c+2m}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{a+c+m}{2\left(a+c+m\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{1}{2}\rightarrowđpcm\)

Bài 1:

a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)

\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)

Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)

⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)

Câu 3:

Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19

7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35

BCNN(7; 19) = 7.19 = 133

Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133

15 = 3.5; 35 = 5.7

ƯCLN(15; 35) = 5

Phân số cần tìm là: 133/5

Ta có : 

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{c+d+a}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên ) 

\(\Rightarrow\)\(M>1\) \(\left(1\right)\)

Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m\inℕ^∗\right)\) ) 

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{c+d+a}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên ) 

\(\Rightarrow\)\(M< 2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(1< M< 2\)

Vậy \(1< M< 2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Hình như là

a/b=2018a/2018b

Vì a/b<c/d

=>2018a/2018b<c/d

=>2018a+c/2018b+d<c+d