9=3(a+b+c) sau đó dùng kỹ thuật tách ghép đối xứng

\(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\ge9.\)

\("\sqrt{a+8}"\sqrt{b+8}"\sqrt{c+8}"=xyz\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(X^2-8\right)\left(b^2-8\right)\left(c^2-8\right)\) (1)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=27\) (2)

\(\left(x^2-8\right)x+y\left(y^2-8\right)+z\left(z^2-8\right)\ge9\)

\(x^3+y^3+z^3-8\left(x+y+z\right)\ge9\)

\(\left(x^3+9x\right)+\left(y^3+9y\right)+\left(z^3+9y\right)-17\left(x+y+z\right)\ge6x^2+6y^2+6z^2-17\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

từ (2) ta có (x^2+y^2+z^2)=27 

\(VT\ge6\left(27\right)-17\sqrt{3\left(27\right)}=162-153=9\)

                                                                                                                         \(\ge\)

Vì \(ab+bc+ca+abc=4\) nên tồn tại các số x,y,z>0 thỏa mãn \(a=\dfrac{2x}{y+z},b=\dfrac{2y}{x+z},c=\dfrac{2z}{x+y}\).

Viết lại BĐT cần chứng minh:\(\sum\sqrt{\dfrac{4x^2}{\left(y+z\right)^2}+8}\le\sum\dfrac{2x}{y+z}+6\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{y+z}{\sqrt{x^2+2\left(y+z\right)^2}+x}\le\dfrac{3}{2}\)(*)

Thật vậy, theo BĐT Bunyakovsky:

\(\left[x^2+2\left(y+z\right)^2\right]\left(1+8\right)\ge\left(x+4y+4z\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\le\sum\dfrac{y+z}{\dfrac{x+4y+4z}{3}+x}=\sum\dfrac{3\left(y+z\right)}{4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\RightarrowĐpcm\)

#proof 2 :[THTT-485]

\(ab+bc+ca+abc=4\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)

Ta có: \(\dfrac{12}{a+2}+a-2=\dfrac{a^2+8}{a+2}\).Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(6+a+b+c=\dfrac{a^2+8}{a+2}+\dfrac{b^2+8}{b+2}+\dfrac{c^2+8}{c+2}\ge\dfrac{\left(\sum\sqrt{a^2+8}\right)^2}{a+b+c+6}\)

\(>>đpcm \)

Lời giải:

Do \(a\geq 1; b\geq 2; c\geq 3\Rightarrow a-1, b-2, c-3\geq 0\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (a-1)+4\geq 2\sqrt{4(a-1)}=4\sqrt{a-1}\\ (b-2)+9\geq 2\sqrt{9(b-2)}=6\sqrt{b-2}\\ (c-3)+16\geq 2\sqrt{16(c-3)}=8\sqrt{c-3}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

\(a+b+c+23\geq 4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1=4\\ b-2=9\\ c-3=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=11\\ c=19\end{matrix}\right.\)

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

2/

a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)

b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)

c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm

Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)

Dấu "=" khi \(x=y=z\)

d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)

\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)

e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)

@Akai Haruma Cô giúp em với ạ!!!

\(VT=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\)

Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\\x+y+z=\sqrt{2019}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)

\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\frac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{2y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)

\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\left(x+y+z\right)\right]=\frac{x+y+z}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2019}{8}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=\) nhiêu đó

Bài 1:

Ta có: a,b không âm(gt)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) được xác định

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)