a)

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3\ge a^3+ab^2+a^2b+b^3\)

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-ab^2-a^3-b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì a , b > 0 nên BĐT trên đúng, mà các phép biến đổi là tương đương

=> ĐPCM

b) Ta có

\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3ab^2+3a^2b\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)

Theo câu a , có phần trong ngoặc luôn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)

Các phép biến đổi là tương đương => ĐPCm

\(\left(a+b\right)^4=a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)

\(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)

\(\Leftrightarrow8\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)

\(\Leftrightarrow7\left(a^4+b^4\right)\ge4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3\)

\(\Leftrightarrow7a^4+7b^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^3\left(a-b\right)-4b^3\left(a-b\right)+3\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra

<=> a=b

\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)

1) A= 2a²b²+2a²c²+2b²c²-a^4-b^4-c^4

       = 2a²b²+2a²c²+2b²c²-(a^4+b^4+c^4)

       =  2a²b²+2a²c²+2b²c² -[(a²+b²+c²)²+2a²b²+2a²c²+2b²c² )

       = 2a²b²+2a²c²+2b²c^{2 -}(a²+b²+c²)²-2a²b²-2a²c²-2b²c²

         ⁼ (a²+b²+c²)² >0

\(A=5n^3+15n^2+10n\)

\(=5n\left(n^2+2\times n\times\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+2\right)\)

\(=5n\left[\left(n+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]\)

\(=5n\left[\left(n+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)

\(=5n\left(n+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)\)

\(=5n\left(n+2\right)\left(n+1\right)\)

Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

=> A vừa chia hết cho 6 vừa chia hết cho 5

=> A chia hết cho 30 (đpcm)

1) 2( a² + b² ) ≥ ( a + b)²

<=> 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² ≥ 0

<=> ( a - b )² ≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :

a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)

a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )

                                                     =(a + d )² - (b +c )²                             (1)

              (a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)² - (b - c)²                                  (2)

Từ (1) và (2)  => a² + 2ad + d² - b² - 2bc - c²=a² - 2ad + d² - b² + 2bc - c²

4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)  (đpcm)

a/VT=x5+x^4.y+x^3.y^2+x^2.y^4+x.y^4-x^4.y-x^3.y^2-x^2.y^3-x.y^4-y^5

=x^5-y^5=VP

=>dpcm