Bài 1 :

chứng minh A = 2 + 2^2 + 2^3 + ........... + 2^2009 + 2^2010 chia hết 42

ta thấy 42 = 2 x 3 x  7

A chia hết 42 suy ra A phải chia hết cho 2;3;7

mà ta thấy tổng trên chia hết cho 2 suy ra A chia hết cho 2  (1)

số số hạng ở tổng A là : ( 2010 - 1 ) : 1 + 1 = 2010 ( số )

ta chia tổng trên thành các nhóm mỗi nhóm 2 số ta được số nhóm là : 2010 : 2 = 1005 ( nhóm )

suy ra A = ( 2 + 2^2 ) + ( 2^3 + 2^4 ) + ...............+ ( 2^2009 + 2^2010 )

A = 2 x ( 1 + 2 ) + 2^3 x ( 1 + 2 ) + ................. + 2^2009 x ( 1 + 2 )

A = 2 x 3 + 2^3 x 3 + ............. + 2^2009 x 3 

A = 3 x ( 2 + 2^3 + ........... + 2^2009 ) chia hết cho 3 

suy ra A chia hết cho 3 ( 2 )

ta chia nhóm trên thành các nhóm mỗi nhóm 3 số ta có số nhóm là : 2010 : 3 = 670 ( nhóm )

suy ra A = ( 2 + 2^2 + 2^3 ) + ( 2^4 + 2^5 + 2^6 ) + ................. + ( 2^2008 + 2^2009 + 2^2010 )

A = 2 x ( 1 + 2 + 2^2 ) + 2^4 x ( 1 + 2 + 2^2 ) + .................. + 2^2008 x ( 1 + 2 + 2^2 )

A = 2 x ( 1 + 2 + 4 ) + 2^4 x ( 1 + 2 + 4 ) + ................ + 2^2008 x ( 1 + 2 + 4 )

A = 2 x 7 + 2^4 x 7 + ............. + 2^2008 x 7

A = 7 x ( 1 + 2^4 + ........ + 2^2008 ) chia hết cho 7 

suy ra A chia hết cho 7 (3)

từ (1) ; (2) và (3) suy ra A chia hết cho 2;3;7 

suy ra A chia hết cho 42 ( điều phải chứng minh )

 A= (2¹+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰)

   =2⁰(2¹+2²+2³)+2³(2¹+2²+2³)+...+2⁵⁷(2¹+2²+2³)

   =(2¹+2²+2³)(2⁰+2³+...+2⁵⁷⁾

   =     14(2⁰+2³+...+2⁵⁷) chia hết cho 7

Vậy A chia hết cho 7     

gọi 1/41+1/42+1/43+...+1/80=S

ta có :

S>1/60+1/60+1/60+...+1/60

S>1/60 x 40

S>8/12>7/12

Vậy S>7/12

A={2+2^2}+{2^3+2^4}+.......+{2^59+2^60}

={2.1+2.2}+{2^3.1+2^3.2}+....+{2^59.1+2^59.2}

=2{1+2}+2^3{1+2}+...+2^59{1+2}

=2.3+2^3.3+.....+2^59.3

=3.(2+2^3+...+2^59)

vi co thua so 3 => tich do chia het cho 3

A={2+2^2}+{2^3+2^4}+.......+{2^59+2^60}

={2.1+2.2}+{2^3.1+2^3.2}+....+{2^59.1+2^59.2}

=2{1+2}+2^3{1+2}+...+2^59{1+2}

=2.3+2^3.3+.....+2^59.3

=3.(2+2^3+...+2^59)

vi co thua so 3 => tich do chia het cho 3

a, 14⁴ =(14²)² =196² ; 1=1²

=> 14⁴ - 1 =196² - 1² =(196 -1)² 

=195²  Mà 195² chia hết cho 3 nên => 14⁴ - 1 chia hết cho 3

b, Ta có :

 A= 2+2²+2³+.....+2⁶⁰

A=(2+2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷+2⁸)+.....+(2⁵⁶+2⁵⁷+2⁵⁸+2⁵⁹2⁶⁰)

A=2(1+2²+2³)+2⁵(1+2²+2³)+.....+2⁵⁶(1+2²+2²+2³)

A=2*15+2⁵*15+.....+2⁵⁶*15

A=15(2+2⁵+.....+2⁵⁶) chia hết cho 15

nhớ **** cho mk nka !

Gọi d ∈ ƯCLN(5n + 6, 3n +1)

Để phân số 5n+63n+15n+63n+1 rút gọn được thì ⎧⎨⎩5n+6⋮d3n+1⋮d{5n+6⋮d3n+1⋮d

⇒⎧⎨⎩3(5n+6)⋮d5(3n+1)⋮d⇒⎧⎨⎩15n+18⋮d15n+5⋮d⇒{3(5n+6)⋮d5(3n+1)⋮d⇒{15n+18⋮d15n+5⋮d

⇒15n+18−(15n+5)⋮d⇒15n+18−(15n+5)⋮d

⇒15n+18−15n−5⋮d⇒15n+18−15n−5⋮d

⇒13⋮d⇒13⋮d

⇒d∈Ư(13)={1;13}⇒d∈Ư(13)={1;13}

Để phân số 5n+63n+15n+63n+1 rút gọn được thì d = 13

⇒3n+1⋮13⇒3n+1⋮13

⇒3n+1+12−12⋮13⇒3n+1+12−12⋮13

⇒3n−12+13⋮13⇒3n−12+13⋮13

⇒3n−12⋮13⇒3n−12⋮13

⇒3(n−4)⋮13⇒3(n−4)⋮13

⇒(n−4)⋮13⇒(n−4)⋮13 vì (3,13) = 1

⇒n−4=13k⇒n−4=13k

⇒n=13k+4⇒n=13k+4

ta có: 60<n<10060<n<100

⇒60<13k+4<100⇒60<13k+4<100

⇒56<13k<96⇒56<13k<96

⇒5≤k≤7⇒5≤k≤7

⇒k∈{5;6;7}⇒k∈{5;6;7}

⇒n∈{69;82;95}

A=2¹+2²+2³+...+2⁶¹+2⁶²+2⁶³

A=(2¹+2²+2³)+...+(2⁶¹+2⁶²+2⁶³⁾

A=14+...+2⁶¹.(2¹+2²+2³)

A=14+...+2⁶¹.14 chia hết cho 14

tick ủng hộ mình nha