\(\overrightarrow{AC}=\left(1;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-3\right)\)

\(C\in d\) ; \(\overrightarrow{u_d}=\left(1;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}=\left(3;1\right)\Rightarrow AB\) không song song với d

\(\Rightarrow ABEC\) là hình thang khi và chỉ khi AC//BE hoặc BC//AE

Gọi \(E\left(x;x+1\right)\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\left(x-2;x-3\right)\) ; \(\overrightarrow{AE}=\left(x+1;x-3\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x-2}{1}=\frac{x-3}{-2}\\\frac{x+1}{-2}=\frac{x-3}{-3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{7}{3}\\x=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}E\left(\frac{7}{3};\frac{10}{3}\right)\\E\left(-9;-8\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AB}\left(-3;2\right)\); \(\overrightarrow{AC}\left(1;m-2\right)\).
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:
\(\dfrac{1}{-3}=\dfrac{m-2}{2}\Leftrightarrow-3\left(m-2\right)=2\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\).

a: Gọi (AB): y=ax+b

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\-2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

B(-2;4); A(1;3); C(x;y)

\(\overrightarrow{BA}=\left(1+2;3-4\right)=\left(3;-1\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(x+2;y-4\right)\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>3(x+2)+(-1)(y-4)=0

=>3x+6-y+4=0

=>3x+10-y=0

=>y=3x+10

ΔBAC vuông cân tại B

=>BA=BC

=>\(BA^2=BC^2\)

=>\(3^2+\left(-1\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2\)

=>\(\left(x+2\right)^2+\left(3x+10-4\right)^2=10\)

=>\(10\left(x+2\right)^2=10\)

=>\(\left(x+2\right)^2=1\)

=>x+2=1 hoặc x+2=-1

=>x=-1 hoặc x=-3

Khi x=-1 thì y=3x+10=-3+10=7

Khi x=-3 thì y=3x+10=-9+10=1

Vậy: C(-1;7); C(-3;1)

Thay lần lượt tọa độ 3 điểm A, B, C vào vế trái pt d ta được các giá trị: -1; -10; -11

Do cả 3 giá trị này cùng dấu nên 3 điểm A; B; C nằm cùng phía so với đường thẳng d

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác