Câu a:

A = 5 + 5^2 + 5^3

A = 5.(1+ 5 + 5^2)

A = 5.(1+ 5+ 25)

A = 5.(6 + 25)

A = 5.31

A ⋮ 31 (đpcm)

Câu b:

A = 5+ 5^2+ 5^3 + ..+ 5^99

Xét dãy số: 1; 2; 3; ..; 99

Dãy số trên có 99 số hạng vì 99 : 3 = 33

Nên ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (5+ 5^2+ 5^3) + ..+ (5^97+ 5^98 + 5^99)

A = 5.(1+5+5^2) + ..+ 5^97.(1+5+5^2)

A = (1+5+5^2).(5+ ..+ 5^97)

A =31.(5+..+5^97)

A ⋮ 31 (đpcm)

Đặt A = B +1 

Ta nhận thấy từ số hạng( 2 + 2²+ 2³ + 2⁴) , 4 số hạng liên tiếp chia hết cho 30

B = ( 2 + 2²+ 2³ + 2⁴)  + .... + 2⁹⁷+ 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

B = ( 2 + 2²+ 2³ + 2⁴)  + .... + 2⁹⁶ ( 2 + 2²+ 2³ + 2⁴)  chia hết cho 30

=> A = B + 1 chia 30 dư 1

a) 2^1 + 2^2 +2^3 +....+2^99+2^100 chia hết cho 3

(2^1 + 2^2) + (2^3+2^4)+.....+(2^99+2^100)

2.(1+2)+2^3.(1+2)+....+2^99(1+2)

(2+2^3+...+2^99).(1+2)

(2+2^3+...+2^99).3

Vì 3 chia hết cho 3 nên (2+2^3+...+2^99).3 chia hết cho 3

hay  2^1 + 2^2 +2^3 +....+2^99+2^100 chia hết cho 3

A=(2^1+2^2)+(2^3+2^4)+.....+(2^99+2^100)

A=(2+2^2)+2^2(2+2^2)+.....+2^98(2+2^2)

A=6+2^2.6+....+2^98.6

A=6+2^2.6+......+2^98.3.2

Vậy A chia hêt cho 3

A=2²+2³+2⁴+2⁵+...+2¹⁰⁰

=>A=2(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+...+2⁹⁹)

A=2.[(1+2+2²)+2³(1+2+2²)+...+2⁹⁷(1+2+2²)

A=2.7(2²+2³+2⁴+2⁵+...+2⁹⁷)

trong tích A có thừa số 7 => A chia hét cho 7

a)Ta Có:

3¹⁰=3(md 13)

=>3¹⁰⁰=3¹⁰=3(mod  13)

=>2.3¹⁰⁰=2.3=6(mod13)

Vậy 2.3¹⁰⁰ hay 3¹⁰⁰+3¹⁰⁰ chia 13 dư 6

b)Ta có:

2¹⁵ =1(mod 31)

=>2¹⁵.2¹⁵...2¹⁵(133 thừa số 2¹⁵)=1.1.1...1=1(mod31)

=>2¹⁹⁹⁵=1(mod31)

=>2¹⁹⁹⁵-1=1-1=0(mod31)

Vậy 2¹⁹⁹⁵ chia hết cho 31 hay chia 31 dư 0

Mình chỉ biết làm ý a thôi :)

S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

S = ( 2¹ + 2² ) + ... + ( 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

S = 2¹( 1 + 2 ) + ... + 2⁹⁹ ( 1 + 2 )

S = 2¹ . 3 + ... + 2⁹⁹ . 3

S = 3( 2¹ + ... + 2⁹⁹ ) chia hết cho 3