Tham khảo:Câu hỏi của Đào Thị Hoàng Yến - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của bui hang trang - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

Ta có : \(a+b>1>0\) (1)

Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)

Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)

Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)

Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)

Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)

cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)

Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2

<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy

<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0

<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng )

vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2

tương tự thì x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8

vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

ta có (a-b)^2 >= 0 => a^2 + b^2 >= 2ab

                           => 2(a^2+b^2) >= a^2+2ab+b^2

                           => 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2 >1 ( vì a+b >1)

                           => a^2+ b^2 >1/2 

          tương tự ta có a^4+b^4 >1/8

khi nao biết thì nói cho    -_-

khi nào biết khai mau