Lời giải:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}$

$=x+y+\frac{2}{x+y}$

$=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}$

$\geq \frac{x+y}{2}+2\sqrt{\frac{x+y}{2}.\frac{2}{x+y}}$ (áp dụng BDT Cô-si)

$\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}+2=\frac{2}{2}+2=3$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Ta có $(2a-1)^2+(2b-1)^2=2$

$\Leftrightarrow4a^2-4a+1+4b^2-4b+1=2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2-a-b=0.$

Suy ra $a^2+b^2=a+b.\hfill(1)$

Lại có $(a+b)^2\le2(a^2+b^2)=2(a+b).$

Đặt $t=a+b>0,$ từ đó $t^2\le2t\Leftrightarrow0<t\le2.$

Mặt khác $a^4+b^4\ge\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}=\dfrac{t^2}{2}.$

Do đó $P=a^4+b^4+\dfrac{2020}{(a+b)^2}\ge\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{2020}{t^2}.$

Đặt $f(t)=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{2020}{t^2},\qquad0<t\le2.$

Ta có $f'(t)=t-\dfrac{4040}{t^3}<0\quad(\forall\,0<t\le2).$

Vì vậy $f(t)$ giảm trên $(0,2]$, nên $f(t)\ge f(2).$

Suy ra $P\ge\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{2020}{2^2}=2+505=507.$

Dấu ``='' xảy ra khi $a=b,\qquad a+b=2.$

Suy ra $a=b=1.$

Kiểm tra: $(2\cdot1-1)^2+(2\cdot1-1)^2=1+1=2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $507.$

\(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}-\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

\(=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}+2+\sqrt{a}-2}{a-4}:\dfrac{\sqrt{a}+2-2}{\sqrt{a}+2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{a}}{a-4}\cdot\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\)

đặt cái đó là Pn nhé

Đề ko rõ ràng \(\sqrt{x^2}+x+\dfrac{1}{4}\) hay \(\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{4}}\)??

m??