Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a₁ , a₂ ,..., a₄₄ là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)

Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)

Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai. 

Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)

Tham khảo cách làm và đề sau:

Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn 

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)

CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.

Giải 

Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016 

Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)

Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)

Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai

=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

Bạn Vongola Famiglia đã đưa gợi ý bằng 1 bài gần giống. Cho phép mình hỏi ( Đọc rồi xem vấn đề của mình )

Giả sử trong 44 số này không có 2 số nào bằng nhau. Coi \(a_1< a_2< ...< a_{43}< a_{44}\)

\(\Rightarrow a_1^2< a_2^2< ...< a_{43}^2< a_{44}^2\)

Mà \(a_1^2;a_2^2;...;a_{44}^2\in N\)* nên \(a_1^2\ge1;a_2^2\ge2^2;...;a_{44}^2\ge44^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{43}^2}+\frac{1}{a_{44}^2}\le1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{44^2}\)

Đến đây không tìm được. Bạn giúp mình với .

Dung nên cho \(a_1\ge2\)  thay vì \(a_1\ge1\) bởi vì \(a_1\) không thể bằng 1. Thật vậy nếu \(a_1=1\) thì sẽ không có các số nguyên dương  \(a_2,a_3,.....\) để : \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{a^2_2}+......+\frac{1}{a^2_{44}}=1\).
Như vậy bài toán sẽ được giải quyết ! Dung tìm hiểu và hoàn thiện bài làm của mình nhé !

dòng thứ 3 dưới lên mình thiếu nhé

 11<300

Giả sử trong 44 số a₁;a₂;a₃;...;a₄₄ không có số nào giống nhau (*)

Không làm mất tính tổng quát của bài toán, coi: \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{44}\)

Vì \(a_1;a_2;a_3;...;a_{44}\) là các số tự nhiên nên \(a_1\ge2;a_2\ge3;a_3\ge4;...;a_{44}\ge45\) (Dễ thấy \(a\ne1\), nếu a=1 thì \(1+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{44}}=1\), ta không thể tìm được các số tự nhiên  \(a_2;a_3;...;a_{44}\) thỏa mãn)

=>\(a_1^2\ge2^2;a_2^2\ge3^2;a_3^2\ge4^2;...;a_{44}^2\ge45^2\)

=>\(\frac{1}{a_1^2}\le\frac{1}{2^2};\frac{1}{a_2^2}\le\frac{1}{3^2};\frac{1}{a_3^2}\le\frac{1}{4^2};...;\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{45^2}\)

=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{45^2}\)

Có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{44.45}\)

=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{44.45}\)

<=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}\)

<=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1-\frac{1}{45}\) 

=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1\)trái với đề bài: \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}=1\)

=> Điều ta đã giả sử ở (*) là sai. Vậy trong 44 số tự nhiên a₁;a₂;a₃;...;a₄₄ luôn có ít nhất 2 số bằng nhau (đpcm)

BÀI NÀY TRONG SÁCH NÂNG CAO VA PHÁT TRIỂN TOÁN ....CỦA TÁC GIẢ VŨ HỮU BÌNH DĨ NHIÊN ĐÃ ĐƯỢC GIẢI