Lời giải:

Có: $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{AB}(1)$

$3\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}+2(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 5\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{NA}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$

$=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

\(\overrightarrow{MN}\)+\(\overrightarrow{QP}\)=\(\overrightarrow{MP}\)+\(\overrightarrow{QN}\)

<=>\(\overrightarrow{MN}\)-\(\overrightarrow{MP}\)+\(\overrightarrow{QP}\)-\(\overrightarrow{QN}\)=\(\overrightarrow{0}\)

<=>\(\overrightarrow{PN}\)+\(\overrightarrow{NP}\)=\(\overrightarrow{0}\)

<=>\(\overrightarrow{PN}\)=\(\overrightarrow{PN}\)

=>dpcm

Đề thiếu ngay câu đầu nên ko thể giải được:

Sao cho \(?=3MB\)

3.

\(\overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{3}{8}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)

\(=\frac{5}{8}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{8}\overrightarrow{AC}\)

Đặt \(\overrightarrow{CK}=k.\overrightarrow{CI}=\frac{3k}{8}\overrightarrow{AB}-\frac{5k}{8}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{3k}{8}\overrightarrow{AB}-\frac{5k}{8}\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{3k-8}{8}\overrightarrow{AB}-\frac{5k-8}{8}\overrightarrow{AC}=-2\left(3k-8\right)\left(-\frac{1}{16}\overrightarrow{AB}+\frac{5k-8}{16\left(3k-8\right)}\overrightarrow{AC}\right)\)

Do B;E;K thẳng hàng nên:

\(\frac{5k-8}{16\left(3k-8\right)}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\frac{104}{33}\)

\(\Rightarrow\frac{KI}{KC}=\frac{71}{104}\)

Cách tính toán là như vậy, còn quá trình tính toán đúng hay sai thì bạn tự tính lại

Ghi lại đề đi bạn, \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CM}\) chắc chắn là 1 dữ kiện sai (vì khi đó N sẽ trùng M, bài toán vô nghĩa)