\(\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ}\)

\(=\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EQ}\)(1)

\(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MQ}\)

\(=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EQ}\)

\(=\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EQ}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MQ}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{IG}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}\)

\(\Rightarrow M,I,N\) thẳng hàng

Bạn xem lại đề ạ!

Nếu bạn đã chứng minh được D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ

Thì dễ dàng suy ra được: \(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\); \(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\); \(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\)

( Vì chúng ta có tính chất: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì mọi điểm M ta có: \(2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)) 

A B C D M N Q P
a)
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
QP là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{QP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
Vậy \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\).
b) Giả sử:
\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MP}\right)+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) ( Điều giả sử đúng).
Vậy \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}.\)

Bổ sung đề: P là trung điểm của AC.

a: Sửa đề; Chứng minh các đoạn MN,MP,NP chia tam giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau

Ta có: \(BN=CN=\frac12BC\)

=>\(S_{ANB}=S_{ANC}=\frac12\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(BM=\frac12BA\)

=>\(S_{BMN}=\frac12\cdot S_{ANB}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

TA có: \(CP=\frac12CA\)

=>\(S_{CPN}=\frac12\cdot S_{CNA}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(AP=\frac12AC\)

=>\(S_{BAP}=\frac12\cdot S_{BAC}\)

Ta có: \(AM=\frac12AB\)

=>\(S_{AMP}=\frac12\cdot S_{ABP}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{AMP}+S_{BMN}+S_{CPN}+S_{MNP}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MNP}=S_{ABC}-\frac14\cdot S_{ABC}-\frac14\cdot S_{ABC}-\frac14\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

Do đó: \(S_{AMP}=S_{BMN}=S_{CNP}=S_{MNP}\)