\(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{NQ}\)

\(=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}\)

\(=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PQ}\)

Do MP là đường trung bình \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP//BC\\MP=\frac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AN}\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}\)

Lời giải:

Có: $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{AB}(1)$

$3\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}+2(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 5\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{NA}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$

$=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

Ta có: \(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

\(=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{CD}\)

Ta có: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{DC}-4\cdot\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}\)

Do đó: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{IG}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}\)

\(\Rightarrow M,I,N\) thẳng hàng