Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1+x\ge2\sqrt{x}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(1+x+y\right)\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(1+x+y\ge\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+x=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)
Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2\)
Bài 2: Vì \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\) nên
\(0\le\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le4\left(xy+yz+xz\right)-8\left(x+y+z\right)+28\)
\(\Leftrightarrow0\le2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3^2+2=9+2=11\)
Cộng 1 vào 2 vế của 3 pt ta được:
x+xy+y+1=1+1 <=> (x+1)(y+1)=2
y+yz+z+1=3+1 <=> (y+1)(z+1)=4
z+xz+z+1=7+1 <=> (z+1)(x+1)=8
Ta có: (x+1)(y+1)(y+1)(z+1)=(y+1)2 .8=2.4=8 => (y+1)2 =1
(y+1)(z+1)(z+1)(x+1)=(z+1)2 .2=4.8=32 => (z+1)2 =16
(z+1)(x+1)(x+1)(y+1)=(x+1)2 .4=2.8=16 => (x+1)2 =4
Do x;y;z không âm nên x= 1; y= 0; z= 3
=> M = 1 +02 +32 =10
Ta có x + \(\frac{1}{x}\ge2\)
y2 + \(\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge3\)
z3 + \(\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\ge4\)
Cộng vế theo vế ta được
x + y2 + z3 + \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\ge9\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
bé hơn hoặc bằng 15 nha bn
bé hơn hoặc bằng 11 nha bn
bn làm ko đc thì đừng ns
thầy mik làm đc ra rồi
nhưng bắt mik làm lại thôi bn à
ta có:
\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2\le2x+3\)
Tương tự:
sai roài
cách này mik làm ko ra
bn làm ntn viết ra luôn đi
\(\hept{\begin{cases}y^2\le2y+3\\z^2\le2z+3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le2\left(x+y+z\right)+9=15\)
cách của bn phù hợp vs bài khác thôi
bài chứng minh nó bé hơn hoặc bằng 15 ý
còn bài của mik ko chứng minh như vậy
ukm, thế thì mk cx ko bít
ukm bn
như thế cx giỏi rồi
dù sao cx cảm ơn bn nha
\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\\\left(x-3\right)\left(y-3\right)\left(z-3\right)\le0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\ge0\\xyz-3\left(xy+yz+zx\right)+9\left(x+y+z\right)-27\le0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xyz+\left(xy+yz+zx\right)\ge-4\\xyz-3\left(xy+yz+zx\right)\le0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xyz+\left(xy+yz+zx\right)\ge-4\left(1\right)\\-xyz+3\left(xy+yz+zx\right)\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế được
\(2\left(xy+yz+zx\right)\ge-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge-2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2+\left(x+y+z\right)^2=2+9=11\)