Giả sử 2 số trong 3 số không bằng nhau :

                       a < b (1)

 Trong hai lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại 

Vì vậy :

Do : a^b = b^c . Mà a < b \( \implies\) c < b

Ta có : b^c = c^a mà c < b \( \implies\) c < a 

Ta có : c^a = a^b mà c < a \( \implies\) a > b (2) 

Từ (1) ; (2) \( \implies\) Mâu thuẫn 

\( \implies\) a = b = c (đpcm)

Nếu a khác b => a>b hoặc a<b 

Xét a<b ta có :a^b=b^c=c^d=d^e=e^a và a<b => b>c;c<d;d>e;e<a ( vô lý)

=> a=b

Xét a>b ta có: a^b=b^c=c^d=d^e=e^a và a>b =>b<c;c>d;d<e;e>a (vô lý)

=>a=b

Nếu a=b=1 thì c=d=e=1; nếu a=b lớn hơn hoặc bằng 2 thì b=c=d=e 

=> a=b=c=d=e  (ở đây mk ko xét a=b=0 vì ko có 0⁰ nha bạn)

Giả sử 2 số trong 5 số không bằng nhau . VD : a<b (1)

Vì vậy do a^b=b^c mà a<b => c<b

Ta có b^c=c^d mà c<b => c<d

Ta có c^d = d^e mà c<d => e<d

Ta có d^e = e^a mà e<d => a>e

Ta có e^a = a^b mà a>e => a>b (2)

Từ (1) và (2) => Giả sử trên là vô lí 

Vậy a=b=c=d ( đcpm )

Thma khảo:Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Sơn Lâm - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Giả sử a>b( trường hợp a<b chứng minh tương tự). Chú ý rằng nếu hai lũy thừa bằng nhau có cơ số( là số tự nhiên) khác nhauthì lũy thừa nào có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn. Xong tiếp tục giải là ra

Đặt \(\frac{a}{2013}=\frac{b}{2014}=\frac{c}{2015}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2013k\\b=2014k\\c=2015k\end{cases}}\)

Ta có: 4(a - b)(b - c) = 4(2013k - 2014k)(2014k - 2015k) = 4(-k)(-k) = 4k² (1)

(c - a)² = (2015k - 2013k)² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Đặt a2013 =b2014 =c2015 =k⇒{

Ta có: 4(a - b)(b - c) = 4(2013k - 2014k)(2014k - 2015k) = 4(-k)(-k) = 4k² (1)

(c - a)² = (2015k - 2013k)² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm