Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : \(x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-4xyz+y^2z^2-2yz+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xyz+y^2z^2\right)+\left(x^2y^2z^2-2xyz+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)^2+\left(x-yz\right)^2+\left(xyz-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall x;y;z\))
\(\Rightarrow\) (đpcm)
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
đây là BĐT cơ bản luôn đúng suy ra đpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương $x,y,z$ ta có:
$(\sqrt{3}-1)^2x^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$
$(\sqrt{3}-1)^2z^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)yz$
$2(\sqrt{3}-1)x^2+2(\sqrt{3}-1)z^2\geq 4(\sqrt{3}-1)xz$
Cộng theo vế và thu gọn:
2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(\sqrt{3}-1)(xy+yz+2xz)$
$\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+2xz}\geq \sqrt{3}-1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}-1$ khi $(\sqrt{3}-1)x=(\sqrt{3}-1)z=y$
bài này là >=nhé bạn
Áp dụng bđt AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)
\(y^2z^2+x^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^4}=2xyz^2\)
\(x^2z^2+x^2y^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)
cộng theo vế và rút gọn
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x+y+z}\ge xyz\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
Không biết thêm ĐK \(x^2+y^2+z^2=8\) vào làm gì =,=!
Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left| c\right|\ge\left|a+b+c\right|\) (bạn tự chứng minh)
Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y+z\right|=0\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 0
ko có bđt \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\ge\left|a+b+c\right|\) nhé tth
Nếu có thì dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}ab\ge0\left(1\right)\\\left(a+b\right)c\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\b\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a\le0\\b\le0\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge0\\c\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a+b\le0\\c\le0\end{matrix}\right.\)
chỉ có \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) và \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\) thui nhé
hok tốt :>
Tham khảo nhé :))
\(x+y+z=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y=-z\)\(S=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=\left|-z\right|+\left|z\right|\ge\left|-z+z\right|=\left|0\right|=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}xy\ge0\left(1\right)\\-z^2\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\y\le0\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(z=0\)
Suy ra \(x^2+y^2=8\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2xy=8\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(-z\right)^2-2xy=8\)
\(\Leftrightarrow\)\(-2xy=8\)
\(\Leftrightarrow\)\(xy=-4\)
\(\Leftrightarrow\)\(y=\dfrac{-4}{x}\)
Lại có \(x+y=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{-4}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2-4}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-4}{2}=-2\\y=\dfrac{-4}{-2}=2\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của \(S\) là \(0\) khi \(\left(x,y,z\right)=\left\{\left(2;-2;0\right),\left(-2;2;0\right)\right\}\)
Chúc bạn học tốt ~
anh quân trên olm à?
uk vk :))
Trong 3 số x,y,z chắc chắn có 2 số cùng dấu, hoặc cùng dương hoặc cùng âm. Ta có thể giả sử đó là x và y thì \(xy\ge0\)
Từ gỉa thiết : \(8=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x+y\right)^2-2xy\le2\left(x+y\right)^2\)
do đó \(\left|x+y\right|\ge2\)
\(VT=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=2\left|x+y\right|\ge4\)(x+y+z=0)
Dấu = xảy ra:\(\left\{{}\begin{matrix}xy=0\\\left|x+y\right|=2\\\left|z\right|=2\end{matrix}\right.\), cùng các hoán vị của điều ta giả sử , ta suy ra Min đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2;0;-2\right)\)và các hoán vị
Phung Minh Quan: Có nhá! Áp dụng BĐT \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) hai lần là thấy ngay nhá! Sách nâng cao của tui có đề cập tói BĐT này!
Chứng minh:
\(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\ge\left|a+b\right|+\left|c\right|\)
\(\ge\left|a+b+c\right|^{\left(đpcm\right)}\)
chỉ có điều là t áp dụng không đúng chỗ =))