Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(VT=\frac{a(z^2+y^2)}{b+c}+\frac{b(x^2+z^2)}{a+c}+\frac{c(x^2+y^2)}{a+b}\)
\(=x^2\left(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)+y^2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}\right)+z^2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\right)\)
Theo BĐT AM-GM, ta có:
\(\left( \frac{c}{a+b} x^2 + \frac{c}{a+b} y^2 \right) \ge 2\sqrt{\frac{c^2}{(a+b)^2} x^2 y^2} = \frac{2c}{a+b} xy\)
\(\left( \frac{a}{b+c} y^2 + \frac{a}{b+c} z^2 \right) \ge 2\sqrt{\frac{a^2}{(b+c)^2} y^2 z^2} = \frac{2a}{b+c} yz\)
\(\left( \frac{b}{a+c} z^2 + \frac{b}{a+c} x^2 \right) \ge 2\sqrt{\frac{b^2}{(a+c)^2} z^2 x^2} = \frac{2b}{a+c} xz\)
Do đó: \(\text{VT} \ge \frac{2c}{a+b}xy + \frac{2a}{b+c}yz + \frac{2b}{a+c}xz\)
Điểm rơi của BĐT sẽ xảy ra khi a=b=c và x=y=z
Khi đó, \(\frac{2c}{a+b}=\frac{2a}{b+c}=\frac{2b}{a+c}=1\)
=>VT>=xy+yz+xz(ĐPCM)
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
đặt x/y=a hay xy/z=a hay j đó là ra nói chung là 4 biế
n lười nháp
Để ý đẳng thức : \(\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\dfrac{yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{xz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{xy\left(x-y\right)+yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-\dfrac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-1\)
Ta luôn có: \(\left(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}\right)^2\ge0\) ;\(\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(x-y\right)^2}\ge-2\sum\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=2\)
(ĐPcm)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}=0\)
Thêm 1 ý tưởng đc buff từ cách trước :))
\(BDT\LeftrightarrowΣ\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}-2=\left(Σ\dfrac{x}{y-z}\right)^2-2Σ\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}-2\dfrac{Σ\left(x^2y-x^2z\right)}{\prod\left(x-y\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}\ge0\)
=)) :V
tắt kinh khủng@@ em chả hiểu:v