Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét nào:)
Từ giả thiết suy ra x + y + z > 3
Ta có: \(P=2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)
Suy ra \(\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Is it right?!?
Em không chắc đâu nha!
Từ đề bài suy ra \(0\le x;y;z\le1\Rightarrow x\left(1-x\right)\ge0\Rightarrow x\ge x^2\)
Tương tự với y với z.Ta có:
\(P=\sqrt{x^2+x^2+x+1}+\sqrt{y^2+y^2+y+1}+\sqrt{z^2+z^2+z+1}\)
\(\le\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{z^2+2z+1}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}\)
\(=\left|x+1\right|+\left|y+1\right|+\left|z+1\right|\)
\(=\left(x+y+z\right)+3=1+3=4\)
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó.
Vậy....
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(2x^2+3xy+4y^2\ge3\sqrt[3]{2x^2\cdot3xy\cdot4y^2}=3\sqrt[3]{24x^3y^3}\Rightarrow\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\sqrt{xy\cdot3\sqrt[3]{24}}\)
Tương tự: \(\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\ge\sqrt{yz\cdot3\sqrt[3]{24}}\); \(\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\ge\sqrt{zx\cdot3\sqrt[3]{24}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT vừa tìm, ta được:
\(P\ge\sqrt{3\sqrt[3]{24}}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\sqrt{3\sqrt[3]{24}}=\sqrt[6]{648}\)
dùng hệ số bất định ấy ,lười lắm
p. tích thành tổng 2 bình phương rồi mincopxki
Dễ chứng minh được \(2x^2+3xy+2y^2\ge\frac{7}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Một cách tương tự :
\(2y^2+3yz+2z^2\ge\frac{7}{4}\left(y+z\right)^2\)
\(2z^2+3xz+2x^2\ge\frac{7}{4}\left(z+x\right)^2\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2x^2+3xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+3yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+3xz+2x^2}\)
\(\ge\sqrt{\frac{7}{4}\left(x+y\right)^2}+\sqrt{\frac{7}{4}\left(y+z\right)^2}+\sqrt{\frac{7}{4}\left(z+x\right)^2}\)
\(=\frac{\sqrt{7}}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}.6=3\sqrt{7}\)