Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Hùng Nguyễn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Việt Lâm, @No choice teen, @Trần Thanh Phương, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! Cần gấp!
thanks nhiều!
\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-ab+b^2+b^2+1}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{ab+b^2+2b}}=\sum\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+1+1}\right)\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1+1\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{8}\le\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2.
\(1\ge\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+a+b+c}\)
\(\Rightarrow a+b+c+3\ge6\Rightarrow a+b+c\ge6\)
\(P=\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\sum\left(\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{6}{3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Ta có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có : \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó :
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xay ra khi a=b=c=1
Vậy \(P_{Max}=\frac{3}{2}\) khi a=b=c=1
\(3\left(2a^2+b^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a+a+b\right)^2=\left(2a+b\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(gt\rightarrow7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\)
\(\Leftrightarrow7\left(x+y+z\right)^2=20\left(xy+yz+zx\right)+2015\)
Ta có: \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow7\left(x+y+z\right)^2\le\frac{20}{3}\left(x+y+z\right)^2+2015\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\le2015\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le\sqrt{6045}\)
\(P\le\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{6045}}{3}\)hay \(a=b=c=\left(\frac{\sqrt{6045}}{3}\right)^{-1}\)
Ta có:\(7\left(\frac{1}{a^2}+...\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2015\)
Mà \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le2015\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{6045}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+...\)
Mà \(\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2\)(bất dẳng thức buniacoxki)
=> \(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
Lại có \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6045}}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{6045}}{2015}\)
Lời giải:
Để nhìn biểu thức cho đơn giản, ta đảo \((a,b,c)\mapsto \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)
Bài toán trở thành:
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
Tìm max của \(P=\sum\frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\)
--------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng BĐt Cauchy-Schwarz:
\((6b^2+3a^2)(2+1)\geq (2\sqrt{3}b+\sqrt{3}a)^2\) \(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\leq\frac{ab}{2b+a}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow P\leq \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2a+c}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(ab\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{9ab}{2b+a}\)
Tương tự... \(\Rightarrow \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2c+a}\leq \frac{a+b+c}{3}\) $(2)$
Mặt khác, ta biết rằng \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) nên từ đkđb \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2=5(ab+bc+ac)+\frac{1}{3}\leq \frac{5(a+b+c)^2}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 1\) $(3)$
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq\frac{1}{3}\)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài trên bạn đoán được nghiệm là $5$ thì dùng pp liên hợp đơn giản.
\(\Leftrightarrow (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-5=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-5)(....)=0\)
Vế bên trong dấu ngoặc hiển nhiên dương nên $x=5$
thanks nhiều mà hình như dấu = xảy ra khi a=b=c=3 chứ nhỉ ??
giúp me bài trên vs
Vì mình đã đảo $a$ thành $\frac{1}{a}$ nên giá trị bị đảo đó. Không phải nhầm đâu
jup mình câu này nữa vs
GPT \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\)
đẳng quá tớ bấm máy nó ra can't solve
cho mình hỏi thêm làm thế nào để đoán nghiệm?
Thường thì mấy bài PT cái đầu tiên nghĩ đến là nghiệm sẽ làm số trong căn là số chính phương =))) kiểu nghiệm đẹp ấy. Có $3x+1,6-x$ thì đoán được $x=5$
TH shift solve mình khuyên bạn nên xài Vinacal cho nhanh. Casio f(x) giải cùi lắm
Thường thì mấy bài PT cái đầu tiên nghĩ đến là nghiệm sẽ làm số trong căn là số chính phương =))) kiểu nghiệm đẹp ấy. Có $3x+1,6-x$ thì đoán được $x=5$
TH shift solve mình khuyên bạn nên xài Vinacal cho nhanh. Casio f(x) giải cùi lắm