Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì \(p,\ p+2014k,\ p+2015k\) đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.
Ta có \(p\) và \(p+2014k\) đều lẻ.
Mà 2014 là số chẵn nên \(2014k\) phải là số chẵn. Điều này chưa đủ để kết luận \(k\) chẵn, ta xét tiếp:
Vì \(p+2014k\) và \(p+2015k\) đều lẻ nên hiệu của chúng là số chẵn.
Ta có:
\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).
Suy ra \(k\) là số chẵn, hay \(2\mid k\).
Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\) không chia hết cho 3.
Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.
Khi đó \(k\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2.
Ta có \(2014\) chia cho 3 dư 1 và \(2015\) chia cho 3 dư 2.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia cho 3 dư \(1+2=3\), tức là chia hết cho 3.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia cho 3 dư \(1+2=3\), tức là chia hết cho 3.
Như vậy, một trong hai số \(p+2014k,\ p+2015k\) chia hết cho 3.
Điều này vô lý vì cả hai đều là số nguyên tố lớn hơn 3.
Vậy \(k\) chia hết cho 3.
Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho 6.
Vậy \(k\) chia hết cho 6.
Vì \(p,\ p+2014k,\ p+2015k\) đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.
Ta có:
\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).
Vì hiệu của hai số lẻ là số chẵn nên \(k\) là số chẵn.
Suy ra \(k\) chia hết cho 2.
Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\equiv1\pmod3\).
Ta có \(2014\) chia cho 3 dư 1 và \(2015\) chia cho 3 dư 2.
Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia cho 3 dư \(1+2\cdot1=3\), tức là chia hết cho 3.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia cho 3 dư \(1+1\cdot2=3\), tức là chia hết cho 3.
Cả hai trường hợp đều dẫn đến một trong hai số \(p+2014k,\ p+2015k\) chia hết cho 3.
Điều này vô lý vì chúng là các số nguyên tố lớn hơn 3.
Vậy \(k\) chia hết cho 3.
Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho \(2\cdot3=6\).
Vậy \(k\) chia hết cho 6.
giải :
vì p, p+2014k,p+2015k là SNT > 3 . => p, p+2014k, p+2015k là số lẻ 2015k là số lẻ k là số chẵn => k chia hết cho 2 Lại có p chia 3 dư 1 => p có dạng 3m + 1 Mà p+ 2014k là SNT => p+ 2014k ko chia hết cho 3 => 3m + 1 +2014k ko chia hết cho 3 Mà 3m chia hết cho 3 , 1 ko chia hết cho 3 => 2014k chia hết cho 3 => k chia hết cho 3( vì 2014 ko chia hết cho 3) k chia hết cho 3 ; 2 => k chia hết cho 6
vì p chia 3 dư 1 => p có dạng : 3a + 1
vì p=3a+1; p+2014k và p+2015k là SNT => 2014k và 2015k sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1. (vì nếu 2014k và 2015k chia 3 dư 2 thì p + 2014k và p+ 2015k sẽ chia hết cho mà chúng đều là SNT > 3 nên ko chia hết cho 3)
mình chỉ biết tới đây thôi mong giúp được bạn
Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.
Chứng minh:
Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.
Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).
Khi đó:
\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)
Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.
Vậy \(n\) là số lẻ.
Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).
Ta có:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).
Cách phân tích phù hợp là:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:
\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.
Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.
Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:
Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).
Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).
Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:
\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)
Hay \(d\mid 2^{2013}\).
Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).
Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.
Suy ra \(d=1\).
Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)