Câu hỏi của Võ Khánh Lê

Question

cho 3 số a,b,c thuộc R* thỏa mãn: a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1. CMR có ít nhất 1 số bằng 1

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài ta có:

$\frac{c-1}{c}=1-\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1-c}{ab}$ $\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}\right)=0$

$\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{1-a-b}+\frac{1}{ab}\right)=\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{abc}=0$

Do đó tồn tại ít nhất một trong các số đã cho có giá trị bằng $1$

Câu trả lời:

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài ta có:

$\frac{c-1}{c}=1-\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1-c}{ab}$ $\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}\right)=0$

$\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{1-a-b}+\frac{1}{ab}\right)=\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{abc}=0$

Do đó tồn tại ít nhất một trong các số đã cho có giá trị bằng $1$