a: Tọa độ trung điểm I của AC là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(1-1\right)=0\\ y_{I}=\frac12\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\left(1-1\right)=0\end{cases}\)

=>I(0;0)

A(1;1); C(-1;-1)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-1;-1-1\right)=\left(-2;-2\right)=\left(1;1\right)\)

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường

=>BD⊥AC tại I và I là trung điểm của BD

=>BD đi qua I(0;0) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình BD là:

1(x-0)+1(y-0)=0

=>x+y=0

=>y=-x

=>\(B\left(x_{B};-x_{B}\right);D\left(x_{D};-x_{D}\right)\)

A(1;1); I(0;0)

\(IA=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\sqrt2\)

ABCD là hình vuông

=>AC=BD

=>\(BI=DI=AI=\sqrt2\)

I(0;0); B(x;-x)

=>\(IB=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(-x-0\right)^2}=\sqrt{2x^2}\)

\(IB=\sqrt2\)

=>\(2x_{B}^2=2\)

=>\(x_{B}^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x_{B}=1\\ x_{B}=-1\end{array}\right.\)

TH1: \(x_{B}=1\)

=>\(y_{B}=-x_{B}=-1\)

=>B(1;-1)

I là trung điểm của BD

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{D}=2\cdot x_{I}\\ y_{B}+y_{D}=2\cdot y_{I}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{D}=2\cdot0-1=-1\\ y_{D}=2\cdot0-\left(-1\right)=1\end{cases}\)

=>D(-1;1)

TH2: \(x_{B}=-1\)

=>\(y_{B}=-x_{B}=1\)

=>B(-1;1)

I là trung điểm của BD

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{D}=2\cdot x_{I}\\ y_{B}+y_{D}=2\cdot y_{I}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{D}=2\cdot0+1=1\\ y_{D}=2\cdot0-1=-1\end{cases}\)

=>D(1;-1)

b: TH1: B(1;-1); D(-1;1)

A(1;1); B(1;-1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-1;-1-1\right)=\left(0;-2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;0)

Phương trình AB là:

2(x-1)+0(y-1)=0

=>2(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

B(1;-1); C(-1;-1)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-1-1;-1+1\right)=\left(-2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (0;2)

Phương trình đường thẳng BC là:

0(x-1)+2(y+1)=0

=>y+1=0

=>y=-1

C(-1;-1); D(-1;1)

=>\(\overrightarrow{CD}=\left(-1+1;1+1\right)=\left(0;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-2;0)

Phương trình đường thẳng CD là:

-2(x+1)+0(y+1)=0

=>-2(x+1)=0

=>x+1=0

=>x=-1

D(-1;1); A(1;1)

\(\overrightarrow{DA}=\left(1+1;1-1\right)=\left(2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (0;-2)

Phương trình đường thẳng AD là:

0(x+1)+(-2)(y-1)=0

=>-2(y-1)=0

=>y-1=0

=>y=1

TH2: B(-1;1); D(1;-1)

A(1;1); B(-1;1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;1-1\right)=\left(-2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (0;2)

Phương trình AB là:

0(x-1)+2(y-1)=0

=>2(y-1)=0

=>y-1=0

=>y=1

B(-1;1); C(-1;-1)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+1;-1-1\right)=\left(0;-2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;0)

Phương trình đường thẳng BC là:

2(x+1)+0(y-1)=0

=>2(x+1)=0

=>x+1=0

=>x=-1

C(-1;-1); D(1;-1)

=>\(\overrightarrow{CD}=\left(1+1;-1+1\right)=\left(2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (0;-2)

Phương trình đường thẳng CD là:

0(x+1)+(-2)(y+1)=0

=>-2(y+1)=0

=>y+1=0

=>y=-1

D(1;-1); A(1;1)

\(\overrightarrow{DA}=\left(1-1;1+1\right)=\left(0;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-2;0)

Phương trình đường thẳng AD là:

-2(x-1)+0(y+1)=0

=>-2(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

A B C M N P Q

a) Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Giả sử BC = a; BM = x. Ta có MN = QP = a - 2x

Áp dụng định lý Ta let ta có: 

\(\frac{AQ}{AB}=\frac{QP}{BC}\Rightarrow AQ=\frac{AB.QP}{BC}=a-2x\)

\(\Rightarrow QB=AB-AQ=a-\left(a-2x\right)=2x\)

\(\Rightarrow QM=\sqrt{QB^2-BM^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=MN.QM=\left(a-2x\right).x\sqrt{3}\)

\(=-2\sqrt{3}x^2+a\sqrt{3}x\)

\(=-2\sqrt{3}\left(x^2-2.\frac{a}{4}.x+\frac{a^2}{16}\right)+\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\)

\(=-2\sqrt{3}\left(x-\frac{a}{4}\right)^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\le\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là \(\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\) khi BM = BC/4

b) Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath