Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
$2x=a+b+c$
$\Rightarrow x-a=\dfrac{b+c-a}{2},\quad x-b=\dfrac{c+a-b}{2},\quad x-c=\dfrac{a+b-c}{2}$
$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$
$=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)}{4}$
$=\dfrac{2ab+2bc-a^2-b^2-c^2+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2}{4}$
$=\dfrac{4ab+4bc+4ca-3(a^2+b^2+c^2)}{4}$
$=\dfrac{(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)}{4}$
$=\dfrac{(2x)^2-2(a^2+b^2+c^2)}{4}$
$=ab+bc+ca-x^2$
$\therefore\ (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+ac+bc-x^2.$
2)
$ab+bc+ca=abc,\quad a+b+c=1$
$(a-1)(b-1)(c-1)$$=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1$$=abc-ab-bc-ca+1-1$$=abc-(ab+bc+ca)$$=abc-abc$$=0$
$\therefore\ (a-1)(b-1)(c-1)=0.$
Ta có: VT=(x-a).(x-b)+(x-b).(x-c)+(x-c).(x-a)
=x2-ax-bx+ab+x2-bx-cx+bc+x2-cx-ax+ca
=3.x2-2.(ax+bx+cx)+ab+bc+ca
=3.x2-2x.(a+b+c)+ab+bc+ca
=x.[3x-2.(a+b+c)]+ab+bc+ca
Vì \(x=\frac{a+b+c}{2}\)
<=>a+b+c=2x
<=>2.(a+b+c)=4x
<=>3x-2.(a+b+c)=-x
=>VT=x.(-x)+ab+bc+ca
=ab+bc+ca-x2=VP
=>ĐPCM
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
$\dfrac{x-b-c}{a}+\dfrac{x-c-a}{b}+\dfrac{x-a-b}{c}=3$
$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)-\left(\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc\right)=3$
$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)=3+\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc$
$\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{abc}$
$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2$
$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow x=a+b+c$
$\boxed{x=a+b+c}$
từ A=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
=>A=x2-ax-bx+ab+x2-bx-cx+bc+x2-cx-ax+ac
=>A=3x2-2ax-2bx-2cx+ab+bc+ac
=>A=3x2-2x(a+b+c)+ab+bc+ac
mà a+b+c=2x(gt)
=>A=3x2-2x.2x+ab+bc+ac
=>A=3x2-4x2+ab+bc+ac
=>A=ab+bc+ac-x2=VP
Vậy ...........................................
Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.
Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) – 1
= y2 +2y – 15
= y2 – 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3)
= (y – 3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)