1. Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
biết 2n+1 và 3n+1 là hai số chính phương.Chứng minh rằng n chia hết cho 40 - Số học - Diễn đàn Toán học
Em tham khảo tại link dưới đây nhé.
Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có : \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)
\(=\left(n^6+2n^3+1\right)-\left(n^4-2n^2+1\right)\)
\(=\left(n^3+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2\)
\(=\left(n^3+1-n^2+1\right)\left(n^3+1+n^2-1\right)\)
\(=n^2\left(n^3-n^2+2\right)\left(n+1\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)
Ta thấy \(n^2\left(n+1\right)^2\) là số chính phương (1) \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)ko phải là số chính phương (2)
Từ (1);(2) => \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) ko phải là số chính phương (đpcm)
b1,
\(n^4< n^4+n^3+n^2+n+1\le n^4+4n^3+6n^2+4n+1=\left(n+1\right)^4\)
=>n4+n3+n2+n+1=(n+1)4<=>n=0
nhầm sai rồi nếu n^4+n^3+n^2+n+1 là scp thì mới chặn đc nhưng ở đây lại ko phải
\(A=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)\)
\(A=n^2.\left(n+1\right)^2.\left[\left(n-1\right)^2+1\right]\) có \(\left(n-1\right)^2+1\) chỉ là số CP phương khi n=1
Vậy với n>1 A không thể Cp
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
Vì 2n + 1 là số chính phương . Mà 2n + 1 là số lẻ
=> 2n + 1 = 1(mod8)
=> n chia hết cho 4
=> n + 1 là số lẻ
=> n + 1 = 1(mod8)
=> n chia hết cho 8
Mặt khác :
3n + 2 = 2(mod3)
=> (n + 1) + (2n + 1) = 2(mod3)
Mà n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương lẻ
=> (n + 1) = (2n + 1) = 1(mod3)
=. n chia hết cho 3
Mà (3;8) = 1
Vậy n chia hết cho 24
Vì 2n + 1 là số chính phương . Mà 2n + 1 là số lẻ
=> 2n + 1 = 1(mod8)
=> n chia hết cho 4
=> n + 1 là số lẻ
=> n + 1 = 1(mod8)
=> n chia hết cho 8
Mặt khác :
3n + 2 = 2(mod3)
=> (n + 1) + (2n + 1) = 2(mod3)
Mà n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương lẻ
=> (n + 1) = (2n + 1) = 1(mod3)
=. n chia hết cho 3
Mà (3;8) = 1
Vậy n chia hết cho 24
chào bạn gà
Vì n + 1 và 2n + 1 đêu là phân số chính phương nên đặt n+1 = k22, 2n+1 = m22( k, m ∈∈ N)
Ta có m là số lẻ => m = 2a+1 =>m22= 4a(a+1)+1
=>n=m2−12m2−12=4a(a+1)24a(a+1)2=2a(a+1)
=> n chẵn =>n+1 là số lẻ =>k lẻ =>Đặt k = 2b+1 (Với b ∈∈ N) =>k22=4b(b+1)+1
=> n=4b(b+1) =>n ⋮⋮8 (1)
Ta có k22 + m22 =3n+2=2 ( mod3)
Mặt khác k22 chia 3 dư 0 hoặc 1 ,m22chia 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k22+m22 =2 (mod3) thì k22 = 1(mod3)
m22 = 1 (mod3)
=>m22-k22⋮⋮3 hay (2n+1)-(n+1) ⋮
Đúng(0)
a) Vì: \(AE\perp CB\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\) \(BF\perp AC\Rightarrow\widehat{AFB}=90^0\)
Xét tứ giác EFAB có: \(\widehat{AFB}=\widehat{AEB}=90^0\left(CMT\right)\Rightarrow\)tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) suy ra: \(\widehat{CAE}=\widehat{CBF}\)(cùng chắn cung FE)
Xét \(\Delta CEA\)và \(\Delta CFB\)có: \(\widehat{CAE}=\widehat{CBF}\), \(\widehat{C}:\)Chung
Suy ra: \(\Delta CEA~\text{}\Delta CFB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AC}{CB}=\frac{CE}{CF}\Leftrightarrow AC.CF=CE.CB\)
c) Vẽ \(OH\perp AB\left(H\in AB\right)\)hay \(\widehat{OHA}=90^0\Rightarrow\)\(OH\)đi qua trung điểm AB\(\Rightarrow\)\(HA=HB=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
Xét \(\Delta OHA\)vuông tại H có: \(\sin\widehat{AOH}=\frac{AH}{AO}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{AOH}=60^0\)
\(\Delta OAB\) có \(OA=OB\)nên \(\Delta OAB\)cân tại E mà EH là đường cao nên đồng thời EH cũng là đường phân giác\(\Rightarrow\)\(\widehat{\frac{AOB}{2}}=\widehat{HOB}=\widehat{AOH}=60^0\)(1)
Xét \(\left(o\right)\)có: \(\widehat{ACB}\)và\(\widehat{AOB}\) cùng chắn cung AB suy ra: \(\widehat{\frac{AOB}{2}}=\widehat{ACB}\)(Quan hệ góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
Từ (1);(2) suy ra \(\widehat{ACB}=60^0\)
d)
d) Xét tứ giác CEIF có: \(\widehat{CEI}+\widehat{CKI}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\)tứ giác CEIF nội tiếp \(\Rightarrow\) bốn điểm C;E;I;F cùng nằm trên một dường tròn (1)
Đồng thời tứ giác CEIK cũng nội tiếp đường tròn (gt) \(\Rightarrow\)Bốn điểm C;E;I;K cùng nằm trên một đường tròn (2)
Từ (1);(2) suy ra C;E;I;K; F cùng nằm trên một đường tròn nên tứ giác CKIE nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{CKI}+\widehat{IEC}=180^0\Leftrightarrow\widehat{CKI}=180^0-\widehat{IEC}\)
Mà: \(\widehat{IEC}=90^0\left(EC\perp AE\right)\Rightarrow\widehat{CKI}=180^0-90^0=90^0\Rightarrow IK\perp CK\left(3\right)\)
Xét \(\Delta CKD\)nội tiếp có CD là đường kính nên \(\Delta CKD\)vuông tại K, suy ra \(KD\perp CK\left(4\right)\)
Từ (3);(4) suy ra 3 điểm K;I;D thằng hàng (tiên đề ơ-clít)
Gọi số người là x (người) (\(\left(x\inℕ^∗\right)\)
Số cây mỗi người phải trồng theo dự định là \(\frac{120}{x}\)(cây)
Vì khi làm việc có 2 người được điều đi nơi khác nên số cây mỗi người phải trồng thực tế là: \(\frac{120}{x-2}\)(cây)
Vì số cây mỗi người cần trồng theo dự định bé hơn số cây số cây mỗi người phải trồng thực tế là 2 cây nên:
Ta có phương trình: \(\frac{120}{x}+2=\frac{120}{x-2}\)
1)Tứ giác EFCB có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\left(gt\right)\Rightarrow\)tứ giác EFCB nội tiếp đường tròn (theo quỹ tích cung chứa góc) (1)
Gọi M là trung điểm BC nên MB=MC
\(\Delta FBC\)có \(\widehat{BFC}=90^0\)nên \(\Delta FBC\)vuông tại F lại có MF là đường trung tuyến suy ra \(MF=MC=MB\)(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2)
Từ (1);(2) mày suy ra cho tao là" M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC hay Tâm O là điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC
B) Xét \(\Delta BDH\)và \(\Delta AEH\)có
\(\widehat{BHD}=\widehat{AHE}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{BDH}=\widehat{AEH}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BDH~AEH\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BH}{AH}=\frac{DH}{EH}\Leftrightarrow BH.EH=DH.AH\left(3\right)\)
(Tiếp theo mày làm tương tự như cái ở trên là ra): \(\Delta DHC~\Delta FHA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{HA}=\frac{HD}{HF}\Leftrightarrow HC.HF=HA.HD\left(4\right)\)
Từ (3);(4) là ra câu b
c) Gọi K là giao điểm EI và BC
Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFC}=\widehat{ADB}=90^0\left(gt\right)\Rightarrow\)tứ giác BFHD nội tiếp suy ra \(\widehat{HBD}=\widehat{HFD}\)(cùng chắn cungHD)
Lại có \(\widehat{BFI}=\widehat{BEI}\)(cùng chắn cung BI của đường tròn (o) )
Từ đó suy ra :\(90^0=\widehat{BFC}=\widehat{BFI}+\widehat{DFC}=\widehat{BEI}+\widehat{EBK}\Rightarrow\Delta EBK\)Vuông tại K , do đó \(EI\perp BC\)
b) Ta có \(AH\perp BC\left(gt\right)\)và \(DE\perp BC\left(gt\right)\) nên \(AH//DE\)(từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta AHC\) có\(AH//DE\) nên \(\frac{DC}{CH}=\frac{DE}{AH}\)(Định lí Ta-Lét) (1)
Xét (o) có đường kình BC vuông góc với dây AF nên đồng thời BC cũng đi qua trung điểm AF (Quan hệ giữa đường kính và dây)\(\Rightarrow\)HA=HF(2)
Từ (1);(2) suy ra : \(\frac{DC}{CH}=\frac{DE}{HF}\Leftrightarrow HF.DC=DE.CH\)