câu c là n \(\in\) N nhe

c) A = 3⁰ + 3¹ + 3² + ...+ 3⁹⁹

3A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰

3A - A = (3 + 3² + 3³ + ...+ 3¹⁰⁰) - (3⁰  + 3¹ + 3² + ... + 3⁹⁹)

      2A = 3¹⁰⁰  - 3⁰ = 3¹⁰⁰ - 1

        A = (3¹⁰⁰ - 1) : 2

Vậy n = 99

Câu a:

A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là:

(99 - 0) : 1 + 1 = 100(số hạng)

Vì 100 : 2 = 50

Nhóm hai số hạng liên tiếp của A ta được:

A = (3^0 + 3^1) + (3^2 + 3^3) + .. + (3^98 + 3^99)

A = (1 + 3) + 3^2.(1 + 3) + ... + 3^98.(1 + 3)

A = (1 + 3).(1 + 3^2 + ... + 3^98)

A = 4.(1 + 3^2 + .. + 3^98) ⋮ 4 (đpcm)

A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99

Dãy số trên có 100 hạng tử

Vì 100 : 4 = 25

Nhóm 4 hạng tử liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3) + ..+ (3^96 + 3^97 + 3^98 + 3^99)

A = (1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) + 3^96.(1+ 3 + 3^2 + 3^3)

A = (1 + 3 + 3^2 + 3^3).(1+ ... + 3^96)

A = (1 + 3 + 9+ 27).(1+ ... + 3^96)

A = (4+ 9 + 27).(1+ ..+ 3^96)

A = (13 + 27).(1 + .. + 3^960

A = 40.(1+ .. + 3^96)

A ⋮ 40

bạn tách dãy thành hiệu của tổng các lũy thừa có số mũ chẵn và tổng của các số mũ lẻ là xong ;)

M=2¹+2²+...+2²⁰¹⁶

M=(2+2²)+...+(2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶)

M=2(1+2)+...+2²⁰¹⁵(1+2)

M=2.3+2³.3+...+2²⁰¹⁵.3

M=3.(2+2³+...2²⁰¹⁵)

          Vì M chia hết cho 3 nên M chia 3 dư 0

M=(2+2²+2³)+...+(2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶)

M=2(1+2+2²)+...+2²⁰¹⁴(1+2+2²)

M=2.7+2⁴.7+...+2²⁰¹⁴.7

M=7(2+2⁴+...+2²⁰¹⁴)

                    Vì M chia hết cho 7 nên M :7 dư 0

a,A=7+7²+7³+...+7⁸

a) Với 7ⁿ là số lẻ với n \(\in\) N*

Mà tổng A có 8 số hạng đều là số lẻ

Do đó : A là số chẵn

b) Ta có

A = ( 7 + 7³ ) + ( 7² + 7⁴ ) + ( 7⁵ + 7⁷ ) + ( 7⁶ + 7⁸ )

    = 7 ( 1 + 7² ) + 7² ( 1 + 7² ) + 7⁵ ( 1 + 7² ) + 7⁶ ( 1 + 7² )

    = 7 . 50 + 7² . 50 + 7⁵ . 50 + 7⁶ . 50

    = 50 ( 7 + 7² + 7⁵ + 7⁶ )

Vì 50 \(\vdots\) 5 => A \(\vdots\) 5

c) Ta có :

A = 50 ( 7 + 7² + 7⁵ + 7⁶ ) = \(\overline{....0}\)

Vậy A có tận cùng là 0

Ta có: A=7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶+7⁷+7⁸

=7+...9+...3+...1+...7+...9+...3+...1

=...0

Vì A có tận cùng là 0 nên A là số chẵn

Vì A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5

Vây A có tận cùng là 0

Lời giải:

$A=3-3^2+3^3-3^4+....-3^{2010}+3^{2011}$

$3A=3^2-3^3+3^4-3^5+...-3^{2011}+3^{2012}$

$\Rightarrow A+3A=3^{2012}+3$

$\Rightarrow 4A=3^{2012}+3$

$\Rightarrow A=\frac{3^{2012}+3}{4}$

b.

Từ phần a suy ra $4A-3=3^{2012}$

Do đó để $4A-3=81^x$ thì $3^{2012}=81^x$

$\Rightarrow 81^{503}=81^x$

$\Rightarrow x=503$

c.

$A=3+(-3^2+3^3-3^4)+(3^5-3^6+3^7)+(-3^8+3^9-3^{10})+...+(3^{2009}-3^{2010}+3^{2011})$

$=3+3^2(-1+3-3^2)+3^5(1-3+3^2)+3^8(-1+3-3^2)+...+3^{2009}(1-3+3^2)$

$=3+3^2(-7)+3^5.7+3^8(-7)+...+3^{2009}(-7)$

$=3+7(-3^2+3^5-3^8+....+3^{2009})$

$\Rightarrow A$ chia 7 dư 3.

d.

$4A=3^{2012}+3$

Có: $3^2\equiv -1\pmod {10}$

$\Rightarrow 3^{2012}=(3^2)^{1006}\equiv 1\pmod {10}$

$\Rightarrow 3^{2012}+3\equiv 4\pmod {10}$

$\Rightarrow 4A$ có tận cùng là 4

$\Rightarrow A$ có tận cùng là 1.