\(1,\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(A^2=\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{x+7}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(3-x+x+7\right)=2\cdot10=20\)

Dấu \("="\Leftrightarrow3-x=x+7\Leftrightarrow x=-2\)

\(A^2=3-x+x+7+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\\ A^2=10+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\ge10\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-7\end{matrix}\right.\)

$A=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

Đặt $s=a+b+c,\ p=ab+bc+ca$.

$s+p=6\Rightarrow p=6-s$

$\Rightarrow A=s^2-2(6-s)=s^2+2s-12$

Lại có $p\le\dfrac{s^2}{3}\Rightarrow 6-s\le\dfrac{s^2}{3}$

$\Rightarrow s^2+3s-18\ge0$

$\Rightarrow s\ge3$

Mà $p=6-s\ge0\Rightarrow s\le6$

$\Rightarrow 3\le s\le6$

Vì $A=s^2+2s-12$ tăng trên $[3,6]$

$\Rightarrow A_{\max}=6^2+2\cdot6-12=36$

Dấu bằng khi $(a,b,c)=(6,0,0)$ và các hoán vị. $A_{\max}=36$

Chuyên gia sao lại đi hỏi ^{( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )}

luc tạo nick ghi thiếu í bạn

nik đủ là chuyên đi hỏi bài

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$\boxed{P_{\min}=3\sqrt3}$

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$P_{\min}=3\sqrt3$

a^2 hay a.2 thế

a^2 bn ạ!!
 

Ta có: \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\) 

\(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+\left(a+b+c\right)b}}\) 

\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\) 

\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)}.\frac{ab}{\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{b+a}.\frac{bc}{c+a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+b}.\frac{ca}{a+b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}\right)=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=1\)

Vậy Max P=1 khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

\(P=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\Sigma\dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}.\Sigma\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\) \(=\dfrac{1}{2}.\left(a+b+c\right)=1\)