ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)

=> x + y + z = 0

Lai co: x³ + y³ +z³ - 3xyz = (x+y+z).(x²+y²+z² - xy - yz - zx)

             x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

=> x³ + y³ + z³ = 3xyz

ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)

=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0

=> x + y + z = 0

Lai co: x³ + y³ +z³ - 3xyz = (x+y+z).(x²+y²+z² - xy - yz - zx)

             x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

=> x³ + y³ + z³ = 3xyz

Trước tiên ta chứng minh với x,y,z là các số dương thì  \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)(*)

Thật vậy BĐT (*) tương đương với   \(3+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge9\)

hay \(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\) ( **)

Bây giờ ta đi cm (**)  Với x,y là 2 số dương thì   \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) 

Tương tự: \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\) Cộng các vế của các BĐT vừa cm được ta cm được (**) hay (*) cũng đúng

Áp dụng (*) ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\) lại có \(x+y+z\le6\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{6}\) ( x,y,z là các số dương)

Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

wa thu vi nha minh cung hoc lop 8 do 

theo đề bài ta có (x+y)^2>=1

2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=1 

x^2+y^2>=1/2 

(x^2+y^2)^2>=1/4 

2(x^4+y^4)>=(x^2+y^2)^2>=1/4

x^4+y^4>=1/8(đề bạn ghi thiếu thì phải)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)

Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y

Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.

=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)

=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.

Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức:

\(VT=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}.3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{x+y+z}\)

Dấu "=" khi x = y = z > 0

cũng là Cauchy-Schwarz dạng Engel nhưng làm khác idol :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+y+z+z+x}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

=> \(2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\cdot2=\frac{9}{x+y+z}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z

a)

$3^x-y^3=1$

$\Leftrightarrow 3^x=y^3+1$

$\Leftrightarrow 3^x=(y+1)(y^2-y+1)$

$\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)$

Vì $3^x$ chỉ có ước nguyên tố là $3$ nên

$y+1=3^m,\quad y^2-y+1=3^n\qquad (m,n\in\mathbb N,\ m+n=x)$

Ta có $y^2-y+1-(y+1)(y-2)=3$ nên $\gcd(y+1,y^2-y+1)\mid 3$

Suy ra $\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$ hoặc $3$.

Nếu $\gcd=1$ thì $y+1=1$

$\Rightarrow y=0$

$\Rightarrow 3^x=1$

$\Rightarrow x=0$.

Nếu $\gcd=3$ thì $3\mid y+1$

$\Rightarrow y\equiv2\pmod3$

$\Rightarrow y^2-y+1\equiv4-2+1\equiv3\equiv0\pmod3$

Lại có $y^2-y+1=(y+1)^2-3y$ nên $9\nmid (y^2-y+1)$

Suy ra $y^2-y+1=3$

$\Rightarrow y^2-y-2=0$

$\Rightarrow y=2$.

Khi đó $3^x=2^3+1=9$ $\Rightarrow x=2$.

Vậy $\boxed{(x,y)=(0,0)\ \text{hoặc}\ (2,2).}$

b/

$a+b+c=0$

$\Rightarrow c=-(a+b)$

$ab+2c^2=ab+2(a+b)^2$

$=2a^2+5ab+2b^2$

$=(2a+b)(a+2b)$

Tương tự $bc+2a^2=(2a+b)(a-b)$

$ca+2b^2=(a+2b)(b-a)$

Suy ra $(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$

$=(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)(b-a)$

$=-(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$ $\le 0$

Do đó $N=1-(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$$=1+(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$

$\ge 1$$>0$

=> N là số dương.