Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
$3^x-y^3=1$
$\Leftrightarrow 3^x=y^3+1$
$\Leftrightarrow 3^x=(y+1)(y^2-y+1)$
$\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)$
Vì $3^x$ chỉ có ước nguyên tố là $3$ nên
$y+1=3^m,\quad y^2-y+1=3^n\qquad (m,n\in\mathbb N,\ m+n=x)$
Ta có $y^2-y+1-(y+1)(y-2)=3$ nên $\gcd(y+1,y^2-y+1)\mid 3$
Suy ra $\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$ hoặc $3$.
Nếu $\gcd=1$ thì $y+1=1$
$\Rightarrow y=0$
$\Rightarrow 3^x=1$
$\Rightarrow x=0$.
Nếu $\gcd=3$ thì $3\mid y+1$
$\Rightarrow y\equiv2\pmod3$
$\Rightarrow y^2-y+1\equiv4-2+1\equiv3\equiv0\pmod3$
Lại có $y^2-y+1=(y+1)^2-3y$ nên $9\nmid (y^2-y+1)$
Suy ra $y^2-y+1=3$
$\Rightarrow y^2-y-2=0$
$\Rightarrow y=2$.
Khi đó $3^x=2^3+1=9$ $\Rightarrow x=2$.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0,0)\ \text{hoặc}\ (2,2).}$
b/
$a+b+c=0$
$\Rightarrow c=-(a+b)$
$ab+2c^2=ab+2(a+b)^2$
$=2a^2+5ab+2b^2$
$=(2a+b)(a+2b)$
Tương tự $bc+2a^2=(2a+b)(a-b)$
$ca+2b^2=(a+2b)(b-a)$
Suy ra $(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$
$=(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)(b-a)$
$=-(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$ $\le 0$
Do đó $N=1-(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$$=1+(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$
$\ge 1$$>0$
=> N là số dương.
Do \(0\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=> a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
Lời giải:
\(a^3+b^3=3ab-1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-3ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)-3ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3+1-3ab(a+b+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+1)[(a+b)^2-(a+b)+1]-3ab(a+b+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+1)(a^2+b^2+1-ab-a-b)=0\)
Vì $a,b>0$ nên $a+b+1\neq 0$
Do đó:
\(a^2+b^2+1-a-b-ab=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2}{2}=0\)
\(\Rightarrow a=b=1\)
Do đó: \(a^{2018}+b^{2019}=1+1=2\)
Ta có đpcm.
1.
Xét hiệu:
\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)
\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm
2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)
3. Xét hiệu:
\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương
Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương
4) xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\
<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z
Vậy suy ra điều cần chứng minh