(a+b)(a²+ab+b²)+ab

=1(a²+2ab+b²-ab)+ab

=((a+b)²-ab)+ab

=1-ab+ab

=1

\(a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

\(=a^2+b^2+2ab-2ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(=1-2ab\)

Ta có: \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2\)

\(a^2+2ab+b^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

                                                                                    đpcm

P/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ

\(a^2+b^2\ge2ab\)rồi áp dụng nhé~

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{4}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)

\(=6\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=¹/₂

Các bạn và thầy cô giúp mk đi

bn thử tham khảo bài này xem:  http://olm.vn/hoi-dap/question/446950.html

ta có bđt phụ đã dc học

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) nếu bạn chưa học thì mik chứng mik cho:v

=> \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

=> \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

điều này luôn đúng với mọi x;y;z

=>\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

thay \(x=a+\frac{1}{a};y=b+\frac{1}{b};z=c+\frac{1}{c}\) vào ta có:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)^2}{3}\)

ta có bđt cosi mà thực ra mik cx ko nhớ tên nếu gọi việt mik thì gọi là bđt cộng mẫu nếu bạn ko bt mik lại chứng minh

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

ta nhân (a+b+c) vào hai vế:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

=\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

mà \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

vì \(\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}\ge2\)

\(x^2+y^2\ge2xy\)

=> \(\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\) hay \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

vậy x;y là các số thực thì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

=> 3+\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)

vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

thay vòa biểu thức đã suy ra ở đầu bài ta có:

=> \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(\left(a+b+c\right)+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\right)^2}{3}\)

mà ta có a+b+c=1 thay vào biểu thức ta có:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(1+9\right)^2}{3}=\frac{10^2}{3}=\frac{100}{3}\)

\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3\)

\(\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\)

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)

=> đpcm

Câu hỏi của Mashiro Rima - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

áp dụng bất đẳng thức buinhia

\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\le a^2+b^2+c^2\)

Ta có : \(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)

Tương tự : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) và \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)

Cộng vế theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)