Xét \(x^2+ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1=a^2-4b\)

\(x^2+cx+d=0\) (2) có \(\Delta_2=c^2-4d\)

Ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)

- Nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2>0\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất một trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2>0\Rightarrow\) ít nhất (1) hoặc (2) có nghiệm hay pt đã cho luôn có nghiệm

- Nếu \(b+d>0\)

\(\frac{ac}{b+d}\ge2\Leftrightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay (1) hoặc (2) luôn có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho luôn có nghiệm

Ta có: \(\Delta1=\left(2b\right)^2-4ac=4b^2-4ac\)

\(\Delta2=\left(2c\right)^2-4ab=4c^2-4ab\)

\(\Delta3=\left(2a\right)^2-4bc=4a^2-4bc\)

\(\Rightarrow\Delta=\Delta1+\Delta2+\Delta3=4b^2-4ac+4c^2-4ab+4a^2-4bc\)

\(=2\left(2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc\right)\)

\(=2\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\right)\)

\(=2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

                                               Vậy với mọi a,b,c thì ít nhất một trong các pt sau có nghiệm

ax^2 + 2bx + c = 0 (1) 
bx^2 + 2cx + a = 0 (2) 
cx^2 + 2ax + b = 0 (3) 
Xét: 
Δ1 = b² - ac 
Δ2 = c² - ab 
Δ3 = a² - bc 
ta có 2(Δ1+ Δ2 + Δ3) 
= 2(b² - ac) + (c² - ab) + (a² - bc) 
= (a² - 2ab + b² ) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) 
= (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² ≥ 0 
=> Δ1+ Δ2 + Δ3 ≥ 0 
=> trong 3Δ: Δ1;Δ2; Δ3 phải có ít nhất 1Δ ≥ 0 
Vậy ít nhất 1phương trình có nghiệm => đpcm

Cái dạng bài này tính denta của từng cái sau đó dùng đk bài cho biến đổi sao cho hai đenta cộng lại lớn hơn 0 là đc ( Tự làm đc nha )  

Trần Đức Thắng cảm ơn cậu, mk ra rùi

Điều kiện a,b,c không cho làm sao suy được mấy cái đó mà bảo chứng minh b.