Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=3\)

Ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm \(I'\left(x';y'\right)\) là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\) và bán kính \(R'=R=3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=-3+1=-2\\y'=1-2=-1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'):

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\)

c) Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là n→(1;-2) nên 1 vecto chỉ phương của d là(2; 1)

=> Vecto v→ không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng d

=> Qua phép tịnh tiến v→ biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.

Nên đường thẳng d’ có dạng : x- 2y + m= 0

Lại có B(-1; 1) d nên B’(-2;3) d’

Thay tọa độ điểm B’ vào phương trình d’ ta được:

-2 -2.3 +m =0 ⇔ m= 8

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8 = 0

(C): \(\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)

=>tâm là I(-3;1); Bán kính là \(R=\sqrt5\)

Gọi (C1) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>\(R_1=R=\sqrt5\)

Tọa độ tâm của (C1) là:

\(\begin{cases}x=\left(-3\right)+\left(-3\right)=-6\\ y=1+1=2\end{cases}\)

Phương trình (C1) là:

\(\left(x+6\right)^2+\left(y-2\right)^2=R^2=5\)

=>tâm là A(-6;2); bán kính là \(R_1=\sqrt5\)

(C') là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

Gọi B(x;y) là ảnh của A(-6;2) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

=>\(\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OA}\)

=>x=2*(-6)=-12 và y=2*2=4

Bán kính là \(R_2=2\cdot R_1=2\sqrt5\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+12\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=20\)

(C) có \(\left\{{}\begin{matrix}I\left(2;3\right)\\R=3\end{matrix}\right.\)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(I\right)=I'\left(x',y'\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a=2+\left(-1\right)=1\\y'=y+a=3+2=5\end{matrix}\right.\Rightarrow I'\left(1,5\right)\)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=\left(C'\right)\) có \(\left\{{}\begin{matrix}I'\left(1,5\right)\\R=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left(C'\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-5\right)^2=3\)

Gọi (d): ax+by+c=0 là ảnh của Δ qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d)⊥Δ

=>(d): x+2y+c=0

Lấy A(1;2) thuộc Δ

Gọi A'(x;y) là ảnh của A(1;2) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x=y_{A}=2\\ y=-x_{A}=-1\end{cases}\)

Thay x=2 và y=-1 vào (d), ta được:

2+2*(-1)+c=0

=>2-2+c=0

=>c=0

=>(d): x+2y=0

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(3;-2\right)\)

=>(d1)//(d)

=>(d1): x+2y+c=0

Lấy B(2;-1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B(2;-1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(3;-2\right)\)

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x=2+3=5\\ y=\left(-1\right)+\left(-2\right)=-3\end{cases}\)

Thay x=5 và y=-3 vào (d1), ta được:

\(5+2\cdot\left(-3\right)+c=0\)

=>5-6+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(d1): x+2y+1=0

\(d'=T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a\\y'=y+b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-a=x'-3\\y=y'-b=y'-4\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt \(\left(d\right):x+y-6=0\) ta đc:

\(\Rightarrow\left(x'-3\right)+\left(y'-4\right)-6=0\)

\(\Rightarrow x'+y'-13=0\)

Vậy \(\left(d'\right):x+y-13=0\)

Câu 1:

Lấy $M(x,y)\in (d)$. $M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}}(M)$

\(\left\{\begin{matrix} x'-x=2\\ y'-y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'-2\\ y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ có dạng:

$3(x'-2)-2(y'+1)+1=0$

$\Leftrightarrow 3x'-2y'-7=0$

Câu 2:

$M(x,y)$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(C)$.

Lấy $M'(x',y')$ là 1 điểm thuộc $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $\overrightarrow{v}$

Khi đó, $M'=T_{\overrightarrow{v}}(M)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x'-x=-3\\ y'-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'+3\\ y=y'-5\end{matrix}\right.\)

PTĐTr $(C')$ có dạng:

$(x'+3)^2+(y'-5)^2-4(x'+3)+6(y'-5)+5=0$

$\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-4y'-3=0$