Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’)

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = a’x là góc tù (vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau 900).

Suy ra: a’ < 0

Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1; a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1; a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau. Suy ra: góc(AOB) = 90 °

Tam giác vuông AOB có OH ⊥ AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OH2 = HA.HB

Hay: a.|a’| = 1 ⇔ a.(-a’) = 1 ⇔ a.a’ = -1

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

*Chứng minh a.a’ = -1 thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có: a.a’ = -1 ⇔ a.|a’| = 1 hay HA.HB = O H 2

Suy ra OA ⊥ OB hay hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau hay (d) ⊥ (d’)

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’) Giả sử a>0

Đặt (d1): y=ax; (d2): y=a'x

Vì a>0 nên Góc tạo bởi tia Ox với (d1) là góc nhọn

Vì Góc tạo bởi hai đường thẳng (d1):y=ax và (d2): y=a'x hơn kém nhau 90 độ

nếu góc tạo bởi (d2) với trục Ox là góc tù

=>a'<0

Gọi A(1;a) thuộc (d1), B(1;a') thuộc (d2)

=>AB⊥Ox tại H(1;0)

\(OH=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=1\)

(d)⊥(d')

=>\(\hat{AOB}=90^0\)

Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HA\cdot HB=OH^2=1^2=1\)

=>\(a\cdot\left|a^{\prime}\right|=1\)

mà a'<0

nên \(a\cdot\left(-a^{\prime}\right)=1\)

=>\(a\cdot a^{\prime}=-1\)

=>Nếu (d)⊥(d') thì \(a\cdot a^{\prime}=-1\)

Giả sử a*a'=-1

=>\(HA\cdot HB=OH^2\)

=>\(\frac{HA}{HO}=\frac{HO}{HB}\)

Xét ΔHAO vuông tại H và ΔHOB vuông tại H có

\(\frac{HA}{HO}=\frac{HO}{HB}\)

Do đó: ΔHAO~ΔHOB

=>\(\hat{HAO}=\hat{HOB}\)

mà \(\hat{HOB}+\hat{HBO}=90^0\) (ΔHOB vuông tại H)

nên \(\hat{HAO}+\hat{HBO}=90^0\)

=>ΔOAB vuông tại O

=>OA⊥OB

=>(d)⊥(d')

Vì đường thẳng d song song hoặc trùng với đường thẳng d₁ : y = ax; đường thẳng d': y = a'x + b' song song hoặc trùng với đường thẳng d₂ : 

y = a'x  nên Nếu d vuông góc với d' thì d₁ vuông góc với d₂

Nhận xét: d₁ và d₂ đều đi qua gốc O mà d₁ vuông góc với d₂ nên có 1 đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ I và III ( giả sử là d₁)  ; đường thẳng còn lại nằm trong góc phần tư thứ II và IV . => a > 0  và a' < 0 

O y x d 1 d 2 H A B

Lấy H (1; 0). Qua H kẻ đường vuông góc với Ox cắt d₁; d₂ lần lượt tại B ; A

=> x_A = x_B = 1

A thuộc d₂ => y_A = a' ; B thuộc d₁ => y_B  = a

=> HA = |a'|; HB = |a| 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOB có: OH² = HA . HB => 1 = |a|. |a'| => |a.a'| = 1 => a.a' = - 1 ( Vì a;a' trái dấu nên a.a' < 0) 

Vậy....

1a)m =1 =>( d1) y = x+2

             (d2) y = -x +2 ;  có a1. a2 = 1.(-1) = -1 =>  (d1) vuông góc với (d2) 

b)  để (d1) vuông góc (d2)

 m(2m -3) =-1 => 2m² -3m +1 =0  => m= 1 hoặc m =1/2

2.+ Gọi PT AB là  y=ax+b  

ta có \(\int^{4a+b=-1}_{2a+b=-15}\Rightarrow\int^{2a=14}_{b=-1-4a}\Rightarrow\int^{a=7}_{b=-29}\)

AB: y=7x-29

(d/)  y = a1x +b1  song song với y=-3x +5 => a1 =-3 ; cắt  (d) tại trúc tung  => b1=-29

=> (d^/) : y = - 3 x  -29