1). Gọi S điểm đối xứng với P qua M.Theo tính chất đối xứng của hình thang cân dễ thấy tứ giác ABSP cũng là hình thang cân.

Ta lại có    Q P S ^ = Q A B ^ = Q R B ^  .

Từ đó có E P Q ^ = E R P ^ ⇒ Δ E R P ∽ Δ E P Q  (g – g),

nên E Q P ^ = E P R ^ = B P S ^ = A S E ^ , suy ra tứ giác AEQS nội tiếp.

Do đó P A . P Q = P E . P S = P F 2 .2 P M = P F . P M , suy ra tứ giác A M Q F  nội tiếp.

Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác △ A Q F  luôn đi qua M.

a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.

Lại có:

+ O là trọng tâm tam giác nên 

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Ta có: NA2 + NB2 + NC2 ngắn nhất

⇔ NO2 ngắn nhất vì R không đổi

⇔ NO ngắn nhất

⇔ N là hình chiếu của O trên d.

E thuộc d nên E(2-t;3+2t)

\(OE=\sqrt2\)

=>\(OE^2=2\)

=>\(\left(2-t\right)^2+\left(3+2t\right)^2=2\)

=>\(t^2-4t+4+4t^2+12t+9-2=0\)

=>\(5t^2+8t+11=0\)

\(\Delta=8^2-4\cdot5\cdot11=64-20\cdot11=64-220=-156<0\)

=>Không có điểm E nào thỏa mãn

câu a

đường thẳng (d') là đường thẳng cần tìm 

d' // d nên d' có dạng x-y +c = 0 với c khác 0 

lấy điểm bất kì thuộc (d) là O(0,0) lấy đối xứng O qua M ta được O' ( 4, 2) vậy O' thuộc (d')

4−2+c=0⇒c=−2⇒(d′):x−y−2=0


Câu b 

Viết pt đường thẳng (a) qua M và vuông góc với (d) 

(a) cắt (d) tại đâu ta được hình chiếu H của M

Điểm S nằm trên đường thẳng d , nên khi S di động trên đoạn thẳng d thì SM ngắn nhất khi \(SM \bot d\)

Nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5;10)\) đến điểm S  là khoảng cách từ điểm \(M(5;10)\) đến d

Khoảng cách đó là: \(d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {12.5 - 5.10 + 16} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = 2\)

Vậy khi S di động trên đường thẳng d thì khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5;10)\) đến điểm S là 2.