TA CÓ:   \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

=>   \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)

TA LUÔN CÓ:   \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

=>   \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2) =>   \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\) 

VẬY TA CÓ ĐPCM.

Cho  \(B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Cm B>1
Ta có \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)(vì phân số cùng tử thì mẫu số nào lớn hơn thì phân số đó bé hơn)
CM tương tự ta có\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}\)

                             \(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)

Cộng vế theo vế ta có \(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

                                       1 < B

CM B<2
Ta có \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)( Vì ta có công thức \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}\)

Cm tương tự như phần trên rồi cộng vế theo vế ta có B<2

Ta có:

\(1-\frac{-2015}{-2016}=1-\frac{2015}{2016}=\frac{1}{2016}\)

\(1-\frac{-2016}{-2017}=1-\frac{2016}{2017}=\frac{1}{2017}\)

Vì \(\frac{1}{2016}>\frac{1}{2017}\Rightarrow\frac{-2015}{-2016}< \frac{-2016}{-2017}\)

Đây là cách so sánh phần bù, bạn có thể lên mạng tham khảo thêm nhé :)

đạt ơi tớ cũng vừa gửi giống cậu

vì 0 < a < 5 < b; a, b

=> a < b

Vì phân số \(\frac{b}{a}\) có tử lớn hơn mẫu

=>b/a > 1

\(\frac{b}{a}>1\Leftrightarrow b>a\)(luôn đúng với 0<a<5<b)

Vậy \(\frac{b}{a}>1\)

b>a>0 \(\Rightarrow\frac{b}{a}>\frac{a}{a}=1\)

Lời giải:
a) Sửa đề thành CM \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) mới đúng nhé.

\(\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=\frac{ab+am-b(a+m)}{b(b+m)}=\frac{m(a-b)}{b(m+b)}\)

Do $\frac{a}{b}< 1; b>0\Rightarrow a< b\Rightarrow a-b< 0$

$m>0; b>0\Rightarrow \frac{m}{b(m+b)}>0$

$\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=\frac{m(a-b)}{b(m+b)}< 0$

$\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}$ (đpcm)

b)

\(0< B=\frac{2020^{2017+1}}{2020^{2018+1}}=\frac{2020^{2018}}{2020^{2019}}< 1\) do $0< 2020^{2018}< 2020^{2019}$

$1>0$

$\Rightarrow B< \frac{2020^{2018}+1}{2020^{2019}+1}$ (theo phần a)

Hay $B< A$