D K H E I F O

tam giác DEF cân tại D suy ra DE=DF, góc DEF = góc DFE

Xét tam giác KEF và tam giác HFE

có EF chung

góc EKF=góc EHF = 90⁰

góc KEF=góc  HFE  (CMT)

suy ra  tam giác KEF và tam giác HFE (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra EK = HF

mà DK+KE=DE, DH+HF=DF

lại có DE=DF (CMT)

suy ra KD=DH

b) xét tam giác DKO và tam giác DHO

có DO chung

góc DKO = góc DHO = 90⁰

DK = DH (CMT)

suy ra tam giác DKO = tam giác DHO ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

suy ra góc KDO = góc HDO

suy ra DO là tia phân giác của góc EDF  (1)

c) Vì DK = DH suy ra tam giác DKH cân tại D

suy ra góc DKH= góc DHK

suy ra góc DKH+ góc DHK + góc KDH = 180⁰

suy ra góc DKH=(180⁰ - góc KDH) :2  (2) 

Tam giác DEF cân tại D

suy ra góc DEF + góc DFE + góc EDF = 180⁰

suy ra góc DEF = (180⁰ - góc KDH) :2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra góc DKH = góc DEF

mà góc DKH đồng vị với góc DEF 

suy ra KH // EF

d) Xét tam giác DEI và tam giác DFI

có DE = DF  (CMT)

DI chung

EI = IF 

suy ra tam giác DEI = tam giác DFI (c.c.c)

suy ra góc EDI = góc FDI

suy ra DI là tia phân giác của góc EDF  (4)

Từ (1) và (4) suy ra DO trùng DI

hay ba điểm D, O, I thẳng hàng.

a)Xét\(\Delta DEF\)có:\(EF^2=DE^2+DF^2\)(Định lý Py-ta-go)

hay\(5^2=3^2+DF^2\)

\(\Rightarrow DF^2=5^2-3^2=25-9=16\)

\(\Rightarrow DF=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Ta có:\(DE=3cm\)

\(DF=4cm\)

\(EF=5cm\)

\(\Rightarrow DE< DF< EF\)hay\(3< 4< 5\)

b)Xét\(\Delta DEF\)và\(\Delta DKF\)có:

\(DE=DK\)(\(D\)là trung điểm của\(EK\))

\(\widehat{EDF}=\widehat{KDF}\left(=90^o\right)\)

\(DF\)là cạnh chung

Do đó:\(\Delta DEF=\Delta DKF\)(c-g-c)

\(\Rightarrow EF=KF\)(2 cạnh t/ứ)

Xét\(\Delta KEF\)có:\(EF=KF\left(cmt\right)\)

Do đó:\(\Delta KEF\)cân tại\(F\)(Định nghĩa\(\Delta\)cân)

c)Ta có:\(DF\)cắt\(EK\)tại\(D\)là trung điểm của\(EK\Rightarrow DF\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(F\)của\(\Delta KEF\)

\(KI\)cắt\(EF\)tại\(I\)là trung điểm của\(EF\Rightarrow KI\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(K\)của\(\Delta KEF\)

Ta lại có:​\(DF\)cắt\(KI\)tại\(G\)

mà​\(DF\)​là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(F\)của\(\Delta KEF\)

\(KI\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(K\)của\(\Delta KEF\)

\(\Rightarrow G\)là trọng tâm của\(\Delta KEF\)

\(\Rightarrow GF=\frac{2}{3}DF\)(Định lí về TC của 3 đg trung tuyến của 1\(\Delta\))

\(=\frac{2}{3}.4=\frac{8}{3}\approx2,7\left(cm\right)\)

Vậy\(GF\approx2,7cm\)

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

DB=DC

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

b: ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AD\(\perp\)BC

Xét ΔAED vuông tại E và ΔAFD vuông tại F có

AD chung

\(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\)

Do đó: ΔAED=ΔAFD

=>DE=DF

=>ΔDEF cân tại D

c: Ta có: ΔAED=ΔAFD

=>AE=AF

Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà AE=AF và AB=AC

nên EB=FC

Xét ΔEBC và ΔFCB có

EB=FC

\(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)

BC chung

Do đó: ΔEBC=ΔFCB

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{FBC}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: D là trung điểm của BC

AD\(\perp\)BC tại D

Do đó: AD là đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,D,I thẳng hàng

a) Xét 2 tam giác vuông EDB và EIB có

EB chung

Góc EDB = Góc EIB = 90độ

Góc DEB = Góc IEB (vì EB là phân giác của Góc E) 

=> tam giác EDB = tam giác EIB (ch-gn)

b) Nối H với F

Ta có EI = ED (vì tam giác EDB = tam giác EIB) => EF - EI = EH - ED

                                                                              => DH = IF

Xét 2 tam giác vuông FHD và HFI có: 

HF chung

DH = IF (cmt)

=> tam giác FHD = tam giác HFI (ch-cgv)

a: Xét ΔDHE vuông tại H và ΔDHF vuông tại H có

DE=DF

DH chung

Do đó: ΔDHE=ΔDHF

=>HE=HF

b: H là trung điểm của EF

=>\(HE=HF=\frac{EF}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔDHF vuông tại H

=>\(DH^2+HF^2=DF^2\)

=>\(DH^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>DH=4(cm)

c: Ta có: \(DN=NE=\frac{DE}{2}\)

\(DM=MF=\frac{DF}{2}\)

mà DE=DF
nên DN=NE=DM=MF

Xét ΔDME và ΔDNF có

DM=DN

\(\hat{MDE}\) chung

DE=DF

Do đó: ΔDME=ΔDNF

=>\(\hat{DEM}=\hat{DFN}\)

d: Xét ΔDKN và ΔDKM có

DK chung

KN=KM

DN=DM

Do đó: ΔDKN=ΔDKM

=>\(\hat{NDK}=\hat{MDK}\)

=>DK là phân giác của góc EDF

ΔDHE=ΔDHF

=>\(\hat{HDE}=\hat{HDF}\)

=>DH là phân giác của góc EDF

mà DK là phân giác của góc EDF

và DH,DK có điểm chung là D

nên D,H,K thẳng hàng