Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)\(\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x+1}\left(\frac{1}{x}+1\right)\)
\(=\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x+1}.\frac{x+1}{x}\)
\(=\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x}\)
\(=\frac{x^2+4x+4}{x^2}\)
\(\left(\frac{x+2}{x}\right)^2\)
=>phép chia = 1 với mọi x # 0 và x#-1
b)Cm tương tự
Em kiểm tra lại đề bài nhé vì:
\(Q=\left(x^3.x.y^n.y-\frac{1}{2}x^3.y^n.y^2\right):\frac{1}{2}x^3y^n-\left(4.5.x^2.x^2.y\right):\left(5x^2y\right)\)
\(=x^3y^n\left(xy-\frac{1}{2}y^2\right):\frac{1}{2}x^3y^n-5x^2y\left(4x^2\right):5x^2y\)
\(=2xy-y^2-4x^2=-\left(x^2-2xy+y^2\right)-3x^2=-\left[\left(x-y\right)^2+3x^2\right]< 0\)Với mọi x, y khác 0
=> Q luôn có gia trị âm với mọi x, y khác 0.
a) y(x2-y2)(x2+y2)-y(x4-y4)=y[(x2)2-(y2)2] - y(x4-y4)=y(x4-y4)-y(x4-y4)=0
vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến (đpcm)
b) \(\left(\frac{1}{3}+2x\right)\left(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\)
\(=\left[\left(2x\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^3\right]-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)=8x^3+\frac{1}{27}-8x^3+\frac{1}{27}=\frac{1}{54}\)
vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến (đpcm)
c) (x - 1)^3 - (x - 1)(x^2 + x + 1) - 3(1 - x)x
= (x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1) - 3x(1 - x)
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 1 - 3x + 3x^2
= 0 (đpcm)
\(2a,\left(6x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(4x+1\right)\left(3x-\frac{7}{4}\right)\)
\(=12x^2-18x+14x-21-12x^2+7x-3x+\frac{7}{4}\)
\(=-21+\frac{7}{4}\)chứng tỏ biểu thức ko phụ thuộc vào biến x
3, Đặt 2n+1=a^2; 3n+1=b^2=>a^2+b^2=5n+2 chia 5 dư 2
Mà số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0,1,4=>a^2 chia 5 dư 1, b^2 chia 5 dư 1=>n chia hết cho 5(1)
Tương tự ta có b^2-a^2=n
Vì số chính phươn lẻ chia 8 dư 1=>a^2 chia 8 dư 1 hay 2n chia hết cho 8=> n chia hết cho 4=> n chẵn
Vì n chẵn => b^2= 3n+1 lẻ => b^2 chia 8 dư 1
Do đó b^2-a^2 chia hết cho 8 hay n chia hết cho 8(2)
Từ (1) và (2)=> n chia hết cho 40
Câu 8 :
\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)
Đặt \(x-1=a\)
\(N=\left(\frac{a}{a^2+x}-\frac{2}{a-1}\right):\left(\frac{a^4+2}{a^3-1}-a\right)\)
\(N=\frac{a\left(a-1\right)-2\left(a^2+x\right)}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a\left(a^3-1\right)}{a^3-1}\)
\(N=\frac{a^2-a-2a^2-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a^4+a}{a^3-1}\)
\(N=\frac{-a^2-a-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}\cdot\frac{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{2+a}\)
\(N=\frac{-\left(a^2+a+2x\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2+x\right)\left(2+a\right)}\)
\(N=\frac{-\left[\left(x-1\right)^2+x-1+2x\right]\left[\left(x-1\right)^2+x-1+1\right]}{\left[\left(x-1\right)^2+x\right]\left(2+x-1\right)}\)
\(N=\frac{-\left(x^2+x\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(N=\frac{-x\left(x+1\right)}{x+1}\)
\(N=-x\)( đpcm )
Câu 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)
Bài làm :
\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2+8x+16}{x}+9\)
\(P=\frac{x^2\left(x+4\right)^2}{x\left(x+4\right)}+9\)
\(P=x\left(x+4\right)+9\)
\(P=x^2+4x+9\)
\(P=\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)
Bài 10 : Tìm GTLN
\(Q=\left(\frac{x^3+8}{x^3-8}\cdot\frac{4x^2+8x+16}{x^2-4}-\frac{4x}{x-2}\right):\frac{-16}{x^4-6x^3+12x^2-8x}\)
\(Q=\left[\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\cdot\frac{4\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x}{x-2}\right]:\frac{-16}{x\left(x^3-6x^2+12x-8\right)}\)
\(Q=\left(\frac{4\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)^2}-\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\right):\frac{-16}{x\left[x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)\right]}\)
\(Q=\frac{4x^2-8x+16-4x^2+8x}{\left(x-2\right)^2}:\frac{-16}{x\left(x-2\right)\left(x^2-4x+4\right)}\)
\(Q=\frac{16}{\left(x-2\right)^2}\cdot\frac{-x\left(x-2\right)\left(x-2\right)^2}{16}\)
\(Q=-x\left(x-2\right)\)
\(Q=-x^2+2x\)
\(Q=-x^2+2x-1+1\)
\(Q=1-\left(x-1\right)^2\le1\forall x\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy....
Câu 1 :
\(x-\frac{9}{8}-\frac{2}{3}\cdot x-\frac{5}{6}\cdot x=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\right)=\frac{3}{4}+\frac{9}{8}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\cdot x=\frac{15}{8}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-15}{4}\)
Vậy....
Câu 2 :
\(\left\{\frac{3}{4}+\left|x-\frac{7}{2}\right|\right\}\cdot\frac{16}{25}=\left[\left(-2\right)^4\right]^0-\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{3}{4}+\left|x-\frac{7}{2}\right|\right]\cdot\frac{16}{25}=1-\frac{9}{25}\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{3}{4}+\left|x-\frac{7}{2}\right|\right]\cdot\frac{16}{25}=\frac{16}{25}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}+\left|x-\frac{7}{2}\right|=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-\frac{7}{2}\right|=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{7}{2}=\frac{1}{4}\\x-\frac{7}{2}=\frac{-1}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{15}{4}\\x=\frac{13}{4}\end{cases}}}\)
Vậy....
a) \(5\sqrt{x-2}=x+2\)ĐK : \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(5\sqrt{x-2}\right)^2=\left(x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow25\left(x-2\right)=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+4-25x+50=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-21x+54=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x-18x+54=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)-18\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-18\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=18\end{cases}}\)( thỏa mãn )
Vậy....
b) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{2-x}=0\)ĐK : \(-1\le x\le2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{2-x}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+1-2\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}+2-x=0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2-x\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-x^2+x+2=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)( thỏa mãn )
Vậy....
c) \(\sqrt{x^2-x+1}=x+1\)ĐK : \(x>-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+1-x^2-2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow-3x=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\)( thỏa mãn )
Vậy....
Bài 4 :
a) Tổng của các hệ số là : \(1+4+7+...+61\)
Số số hạng là : \(\left(61-1\right):3+1=21\)( số )
Tổng là : \(\left(61+1\right)\cdot21:2=651\)
Vậy...
b) Biến đổi ta có :
\(F\left(x\right)=6x^3+x^2\left(b-10\right)+x\left(3b-28\right)+4\)
\(G\left(x\right)=x^3\left(a-2\right)-4x^2+x\left(2-b+2x\right)+2\left(c-d\right)\)
Đồng nhất hệ số ta có :
\(\hept{\begin{cases}a-2=6\\b-10=-4\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}2-b+2c=3b-28\\c-d=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=8\\b=6\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}c=-3\\d=-7\end{cases}}\)
Vậy....
c) \(H\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}H\left(0\right)=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d=0\\H\left(-1\right)=a\cdot\left(-1\right)+b\cdot1+c\cdot\left(-1\right)+d=0\\4H\left(1\right)=a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1+d=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}H\left(0\right)=d=0\\H\left(-1\right)=-a+b-c=0\\4H\left(1\right)=a+b+c=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a+b-c-a-b-c=0\\-a+b-c+a+b+c=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\left(a+c\right)=0\\2b=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c=0\left(1\right)\\b=0\end{cases}}\)
Lại có : \(H\left(2\right)=a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d=-2\)
\(\Leftrightarrow8a+2c=-2\)
\(\Leftrightarrow4a+c=-1\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow4a+c-a-c=-1\)
\(\Leftrightarrow3a=-1\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(a=\frac{-1}{3};c=\frac{1}{3};b=d=0\)
Bài 1:
a) \(A=\sqrt{x-4}-2\)ĐK : \(x\ge4\)
Vì \(\sqrt{x-4}\ge0\forall x\)
Do đó \(A\ge-2\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=4\)
b) \(B=x-\sqrt{x}\)ĐK : \(x\ge0\)
\(B=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(B=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge\frac{-1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
Bài 2 :
a) \(M=\sqrt{3}-\sqrt{x-1}\)ĐK : \(x\ge1\)
Vì \(\sqrt{x-1}\ge0\forall x\)
Do đó \(M\le\sqrt{3}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)
b) \(N=6\sqrt{x}-x-1\)ĐK : \(x\ge0\)
\(N=-\left(x-6\sqrt{x}+1\right)\)
\(N=-\left[\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot\sqrt{x}\cdot3+9-8\right]\)
\(N=-\left[\left(\sqrt{x}-3\right)^2-8\right]\)
\(N=8-\left(\sqrt{x}-3\right)^2\le8\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)
c) \(P=\frac{1}{x-\sqrt{x}-1}\)
Xét \(x-\sqrt{x}-1\)
\(=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\)
\(=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\forall x\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x-\sqrt{x}-1}\le\frac{1}{\frac{-5}{4}}=\frac{-4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
a) \(\sqrt{11}-\sqrt{3}< \sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2\)
b) \(1+\sqrt{3}>1+\sqrt{1}=2\)
c) \(\sqrt{3}-1< \sqrt{4}-1=2-1=1\)
d) \(\sqrt{2}+\sqrt{5}< \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5< 8\)
e) \(\sqrt{5}+2>\sqrt{4}+2=2+2=4\)