Đáp án B 

Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm  x 0 và y=f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0  tại  x 0 , khi đó:

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

\(y'\left(x\right)=x^2+2\left(m^2-m+2\right)x+3m^2+1\) \(\Rightarrow y''\left(x\right)=2x+2\left(m^2-m+2\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 thì \(\begin{cases}y'\left(-2\right)=0\\y''\left(-2\right)=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}-m^2+4m-3=0\\m^2-m>0\end{cases}\)

                                                                               \(\Rightarrow\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-3\right)=0\\m\left(m-1\right)>0\end{cases}\)

                                                                                \(\Rightarrow m=3\)

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m+1\right)x-1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m+1\right)=x^2-2m\cdot x+\left(m+1\right)\)

=>y''=2x-2m

Để hàm số đạt cực tại tại x=-2 thì y'(-2)=0 và y''(-2)<0

=>\(\left(-2\right)^2-2m\cdot\left(-2\right)+m+1\) =0 và 2*(-2)-2m<0

=>4+4m+m+1=0 và -4-2m<0

=>5m=-5 và 2m+4>0

=>m=-1 và m>-2

=>m=-1

\(y=x^3-3x^2+mx+1\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x+m=3x^2-6x+m\)

=>y''=\(3\cdot2x-6=6x-6\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=2 thì y'(2)=0 và y''(2)>0

=>3*2^2-6*2+m=0 và 6*2-6>0

=>12-12+m=0 và 12>0

=>m=0