1. Ta có: $x+y+4=0 \Rightarrow x+y=-4$.

Xét: $A=2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+10xy$.

Ta có: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ nên: $x^3+y^3=(-4)^3-3xy(-4)=-64+12xy$.

Lại có: $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-2xy$.

Thay vào biểu thức $A$:

$A=2(-64+12xy)+3(16-2xy)+10xy$

$=-128+24xy+48-6xy+10xy$

$=-80+28xy$.

Ta có: $(x-y)^2\ge0$

$\Rightarrow (x+y)^2-4xy\ge0$

$\Rightarrow 16-4xy\ge0$

$\Rightarrow xy\le4$.

=> $A=-80+28xy\le-80+28\cdot4=32$.

Dấu “=” xảy ra khi: $x=y=-2$.

Vậy: $\boxed{A_{max}=32}$.

2. Đặt: $t=xy$.

Ta có: $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$.

Mà: $x^2+y^2\ge2xy=2t$ nên: $x^4+y^4\ge(2t)^2-2t^2=2t^2$.

Theo giả thiết: $x^4+y^4-7=xy(3-2xy)$

$\Rightarrow x^4+y^4-7=t(3-2t)$.

Do đó: $2t^2-7\le3t-2t^2$

$\Rightarrow 4t^2-3t-7\le0$.

Giải bất phương trình:

$4t^2-3t-7=0$

$\Rightarrow \Delta =(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)=121$

$\Rightarrow \sqrt\Delta=11$.

Suy ra: $t=\dfrac{3\pm11}{8}$

$\Rightarrow t=-1$ hoặc $t=\dfrac74$.

Vì: $4t^2-3t-7\le0$ nên: $-1\le t\le\dfrac74$.

Vậy: $\boxed{M_{min}=-1}$.

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y=2xy\cdot x=x\)( vì \(xy=1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{x}=1\)

Hoan toàn tương tự : \(\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{y}{y}=1\)

Khi đó :

\(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\le1+1=2\)

Hay \(A\le2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^2\\x^2=y^4\\xy=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}}\)

Thêm đk x,y>0

*Tìm giá trị lớn nhất:

\(A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{x}{2xy.x}+\frac{y}{2xy.y}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=' xảy ra khi x = y = 1

P/s: Bài này hình như không có Min thì phải.:>

x+y=3=>x=3-y

M=x+xy+y=x+y+xy=3-y+y+(3-y).y

=3+3y-y²=-y²+3y+3=-(y²-3y-3)=\(-\left(y^2-2.y.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-3\right)=-\left[\left(y-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{21}{4}\right]=\frac{21}{4}-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{21}{4}\) (với mọi y)

Dấu "=" xảy ra <=> y=3/2 <=> x=3/2

Vậy M đạt GTLN là 21/4 khi x=y=3/2

Ta có : x + y = 1 => x = y - 1

=> P = (y - 1).y - 7 = y² - y - 7 = (y² - y - 1/4) - 27/4 = (y - 1/2)² - 27/4 \(\ge\)-27/4 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}y-\frac{1}{2}=0\\x=y-1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy Min P = -27/4 <=> x = -1/2 và y = 1/2

Edogawa Conan

Cách em làm ko sai. Nhưng em nhầm từ dòng đầu tiên nhé!

x + y = 1 => x = 1- y

Giải: 

Có: \(\left(x-y\right)^2\ge0,\forall x,y\)

<=> \(x^2+2xy+y^2\ge2xy,\forall x,y\)

<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy,\forall x,y\)

=> \(P=xy-7\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-7=\frac{1}{4}-7=-\frac{27}{4}\)

"="  xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của P là -27/4 đạt tại x = y = 1/2.

Bài 1:

$xy+3=x+y$

$\Leftrightarrow xy-x-y+3=0$

$\Leftrightarrow x(y-1)-(y-1)+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+2=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=-2$
Vì $x,y$ nguyên nên $x-1, y-1$ nguyên. Khi đó:

$(x-1, y-1)=(2, -1), (-2, 1), (1, -2), (-1, 2)$
Đến đây bạn dễ dàng tìm được giá trị $x,y$ thỏa mãn.

Bài 2:

$x+y=3\Rightarrow y=3-x$. Khi đó:

$A=xy=x(3-x)=3x-x^2$

$-A=x^2-3x=(x^2-3x+1,5^2)-1,5^2=(x-1,5)^2-\frac{9}{4}\geq \frac{-9}{4}$

$\Rightarrow A\leq \frac{9}{4}$

Vậy $A_{\max}=\frac{9}{4}$