a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.

Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DH$.

Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.

Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $EH$.

Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.

Do $AC\perp AB$ nên:

$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.

Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.

Vậy $ADHK$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.

Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.

Ta có: $AD=AH=AE$.

Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.

Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.

Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $AM\perp IK$.

Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:

$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác: $I=AD\cap BH$.

Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:

$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.

Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.

Suy ra: $AM\perp IK$.

a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.

Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DH$.

Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.

Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $EH$.

Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.

Do $AC\perp AB$ nên:

$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.

Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.

Vậy $ADHK$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.

Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.

Ta có: $AD=AH=AE$.

Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.

Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.

Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $AM\perp IK$.

Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:

$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác: $I=AD\cap BH$.

Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:

$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.

Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.

Suy ra: $AM\perp IK$.

a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

a: H đối xứng I qua MN

=>MN là đường trung trực của HI

=>MN⊥HI tại D và D là trung điểm của HI

H đối xứng K qua MP

=>MP là đường trung trực của HK

=>MP⊥HK tại E và E là trung điểm của HK

Xét tứ giác MDHE có \(\hat{MDH}=\hat{MEH}=\hat{EMD}=90^0\)

nên MDHE là hình chữ nhật

b: Xét ΔMDH vuông tại D và ΔMDI vuông tại D có

MD chung

DH=DI

Do đó: ΔMDH=ΔMDI

=>\(\hat{HMD}=\hat{IMD}\)

=>MN là phân giác của góc HMI

=>\(\hat{HMI}=2\cdot\hat{HMN}\)

Xét ΔMEH vuông tại E và ΔMEK vuông tại E có

ME chung

EH=EK

Do đó: ΔMEH=ΔMEK

=>\(\hat{EMH}=\hat{EMK}\)

=>ME là phân giác của góc HMK

=>\(\hat{HMK}=2\cdot\hat{HMP}\)

\(\hat{KMI}=\hat{KMH}+\hat{HMI}\)

\(=2\cdot\left(\hat{NMH}+\hat{PMH}\right)=2\cdot\hat{NMP}=180^0\)

=>K,M,I thẳng hàng

mà MK=MI(=MH)

nên M là trung điểm của KI

=>K đối xứng I qua M

Ta có: IK⊥MP

MN⊥MP

Do đó: IK//MN

Xét ΔPMN có

I là trung điểm của PN

IK//MN

Do đó: K là trung điểm của MP

Xét tứ giác MIPE có

K là trung điểm chung của MP và IE

=>MIPE là hình bình hành

Hình bình hành MIPE có MP⊥IE

nên MIPE là hình thoi

a: Xét tứ giác MDHE có

\(\widehat{MDH}=\widehat{MEH}=\widehat{EMD}=90^0\)

=>MDHE là hình chữ nhật

b: MDHE là hình chữ nhật

=>MH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MH

nên O là trung điểm của DE

=>DO=OE

c: ΔHDN vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên DI=HI=IN

=>ΔIHD cân tại I

ΔPEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KP=KH

=>ΔKEH cân tại K

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{HMD}\)

\(=\widehat{HMD}+\widehat{HND}=90^0\)

=>KE vuông góc ED(1)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{IHD}+\widehat{EMH}\)

\(=\widehat{HPM}+\widehat{HMP}=90^0\)

=>ID vuông góc DE(2)

Từ (1) và (2) suy ra DI//EK