\(\hat{SC;\left(ABCD\right)}=\hat{CS;CA}=\hat{SCA}\)

=>\(\hat{SCA}=60^0\)

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\)

Xét ΔSAC vuông tại A có tan SCA\(=\frac{SA}{AC}\)

=>\(\frac{SA}{a\sqrt2}=\tan60=\sqrt3\)

=>\(SA=a\sqrt6\)

ΔSAC vuông tại A

=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)

=>\(SC^2=\left(a\sqrt6\right)^2+\left(a\sqrt2\right)^2=6a^2+2a^2=8a^2\)

=>\(SC=\sqrt{8a^2}=2a\cdot\sqrt2\)

Gọi M là trung điểm của AD

=>\(MA=MD=\frac{AD}{2}=a\)

Xét tứ giác AMCB có

AM//CB

AM=CB

Do đó: AMCB là hình bình hành

Hình bình hành AMCB có AM=AB(=a)

nên AMCB là hình thoi

=>MC=AB=a

Xét ΔACD có

CM là đường trung tuyến

CM=AD/2

Do đó: ΔCAD vuông tại C

=>CA⊥CD

SA⊥(ABCD)

=>SA⊥CA

DC⊥CA

DC⊥SA

=>DC⊥(SAC)

=>D là hình chiếu của C xuống mp(SAC)
\(\hat{SD;\left(SAC\right)}=\hat{SD;SC}=\hat{CSD}\)

ΔSAD vuông tại A

=>\(AD^2+AS^2=SD^2\)

=>\(SD^2=\left(2a\right)^2+\left(a\sqrt6\right)^2=10a^2\)

=>\(SD=a\sqrt{10}\)

ΔCAD vuông tại C

=>\(CA^2+CD^2=AD^2\)

=>\(CD^2=AD^2-CA^2=\left(2a\right)^2-\left(a\sqrt2\right)^2=4a^2-2a^2=2a^2\)

=>\(CD=a\sqrt2\)

Xét ΔSCD có \(SC^2+CD^2=SD^2\)

nên ΔSCD vuông tại C

Xét ΔSCD vuông tại C có sin CSD=\(\frac{CD}{DS}=\frac{a\sqrt2}{a\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

nên \(\hat{CSD}\) ≃27 độ

=>\(\hat{SD;\left(SAC\right)}\) ≃27 độ

a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\AC\perp BD\left(\text{hai đường chéo hình vuông}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

b.

Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

a) Ta có:

⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có:

c) 

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và  .

Tam giác SDI có diện tích:

Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A, D$).

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ nên: $S(0,0,a)$.

a) Chứng minh vuông góc

Xét $(SAD)$ và $(SDC)$:

Ta có: $\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$

⇒ $(SAD)$ có hai vectơ chỉ phương vuông góc nhau ⇒ là mặt phẳng đứng.

Xét: $\vec{DC} = (a,0,0)$

Ta có: $\vec{DC} \perp \vec{SA}$ và $\vec{DC} \perp \vec{AD}$ ⇒ $DC \perp (SAD)$

Mà $DC \subset (SDC)$ ⇒ $(SAD) \perp (SDC)$

Xét $(SAC)$ và $(SCB)$:

Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{SA} = (0,0,a)$

⇒ $(SAC)$ là mặt phẳng chứa hai vectơ này.

Xét: $\vec{BC} = (-a,a,0)$

Ta có:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = -a^2 + a^2 = 0$
$\vec{BC} \cdot \vec{SA} = 0$

⇒ $BC \perp (SAC)$

Mà $BC \subset (SCB)$ ⇒ $(SAC) \perp (SCB)$

b) Tính $\tan\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường thẳng vuông góc chung.

Xét cạnh $SB$: $\vec{SB} = (2a,0,-a)$

Độ dài: $SB = a\sqrt{5}$

Góc giữa $SB$ và đáy:

$\sin\varphi = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

⇒ $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Suy ra: $\tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

c) Xác định mặt phẳng $(\alpha)$ và thiết diện

$(\alpha)$ chứa $SD$ và vuông góc với $(SAC)$.

Ta có: $(SAC)$ chứa $\vec{SA}, \vec{AC}$

Một vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC}$

Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc $(SAC)$ ⇒ chứa $\vec{n}$

Lại chứa $SD$ ⇒ $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $SD$ và song song với $\vec{n}$

Đề bài hiện còn thiếu dữ kiện về cạnh của tam giác đều $ABC$ nên chưa thể tính được góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$. Bạn kiểm tra lại nhé