Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2019^2}< 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(P< 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=\frac{7}{4}-\frac{1}{2019}< \frac{7}{4}\)
bài 1:
ta có \(\frac{1}{1!}=1\)
\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)
bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:
\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)
... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)
thay vào biểu thức S
=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)
áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(S<2-\frac{1}{2012}\)
mà \(\frac{1}{2012}>0\)
=> \(S<2\)
bài 2:
Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)
=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)
\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)
\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)
... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A
\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)
vậy \(A<\frac{1}{9!}\)
Mk làm bai 1 thôi:
\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}+2^{2016}\)
\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}+2^{2017}\)
\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}+2^{2017}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2015}+2^{2016}\right)\)
\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}+2^{2017}-1-2-2^2-2^3-2^4-...-2^{2016}-2^{2017}\)
\(A=2^{2017}-1\)
bài 2
ta có các phân số 1/61 , 1/72 ,1/83 ,1/94 đều nhỏ hơn 1/60
==> 1/61 + 1/72+ 1/83 + 1/94 < 4/60 =1/15
lại có các phân số 1/16 , 1/19 , 1/21 đều nhỏ hơn phân số 1/15
==>1/16 + 1/19 +1/21 <3/15
==> 1/16 +1/19+1/21+1/61 + 1/72 +1/83 +1/94< 4/15
==> 1/3 +1/16 + 1/19 +1/21 +1/61 +1/72 +1/83 +1/94 <3/5 (cộng cả hai về với 1/3)
Ta có :
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)
\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)
\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên :
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có :
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\)
\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(n-2< S< n-1\)
Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên
Vậy \(S\) không là số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ~